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1、数学培优网向量讲义向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而
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3、＞
4、
5、才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（）,其中、满足＝1（可用（cos,s
6、in）（0≤≤2π）表示）.特别：表示与同向的单位向量。例如：向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足则点P的轨迹一定通过三角形的内心。(变式)已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06陕西)⑸的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)2．与向量运算
7、有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）①当两个向量和不共线时，的方向与、都不相同，且
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9、＜
10、
11、＋
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13、；②当两个向量和共线且同向时，、、的方向都相同，且；③当向量和反向时，若
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15、＞
16、
17、，与方向相同，且
18、
19、=
20、
21、-
22、
23、；若
24、
25、＜
26、
27、时,与方向相同，且
28、＋
29、=
30、
31、-
32、
33、.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。5数学培优网向量讲义;例2：P是三角形ABC内任一点，若，则P一定在（）A、内部B、AC边所在的直线上C、AB
34、边上D、BC边上例3、若，则△ABC是：A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.等腰Rt△例4、已知向量，求的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式==。当且仅当时，有最大值评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“”就显得简洁明快。原式=，但要注意等号成立的条件（向量同向）。⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，,（在△ABC中）.(□ABCD中)⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．如果两个非零向量，，使=λ（λ
35、∈R），那么∥；反之，如∥，且≠0，那么=λ.这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.②设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则③（∵=90°，④在实数运算中=0=0或b=0.而在向量运算中==或=是错误的，故或是=0的充分而不必要条件.⑤当与同向时=(=0,cos=1);当与反向时，=-(=π,cos=-1)，即∥的另一个充要条件是.当为
36、锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；例5.如已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）；5数学培优网向量讲义例6、已知,为相互垂直的单位向量，，。且与的夹角为锐角，求实数的取值范围。分析：由数量积的定义易得“”，但要注意问题的等价性。解：由与的夹角为锐角，得有而当即两向量同向共线时，有得此时其夹角不为锐角。故.评析：特别提醒的是：是锐角与不等价；同样是钝角与不等价。极易疏忽特例“共线”。特殊情况有=。或===.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(
37、,),(,),则=⑥。（因）⑦数量积不适合乘法结合律.如（因为与共线，而与共线）⑧数量积的消去律不成立.若、、是非零向量且并不能得到这是因为向量不能作除数，即是无意义的.(6)向量b在方向上的投影︱b︱cos＝(7)和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)特别：.＝则是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200＝（）A．50B.51C.100D.101例8、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨
38、迹是_______（直线AB）例9、已知点A,,B,C的坐标分别是.若存在实数,5数学培优网向量讲义使,则的值是:A.0B
