《函数的最大值和最小值》教学设计

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1、《函数的最大值和最小值》教学设计★作者简介廖维猛1998年6月于湖南科技大学数学教育专业本科毕业，同年7月参加教育工作至今；2003年8月湖南师范大学教育管理硕士结业。1998年到2003年担任从初中一年级至高中三年级的数学教学，现一至从事高三数学教学。发表论文有：1999．11论文《架好新旧知识的桥梁》省二等奖；2000．8论文《浅谈十字交叉法的引入》国家一级论文；2001．7论文《含绝对值函数作图的几种策略》公开发表；2001．7著作《高中数理化公式定理定律手册》公开销售；2002．7论文《曲线（直线）恒过定点技巧解法

2、》市三等奖；2003．10获雷锋学校青年教师素质比武综合一等奖承担课题有：参与市级课题《分层设问分组探究》已揭题；组织省级重点课题《高中数学应用问题实验设计与研究》进行中。★教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。二、求

3、一些实际问题的最大值与最小值。【教具使用】CAI课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图像。（如图1）我们知道，图中f(x1)与f(x2)是极小值，f(0)是极大值。在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x2)。二、新课探究1．函数最值的概念。定义：可导函数f(x)在闭区间[a，b]上所有点处的函数值中的最大（或最小）值，叫做函数f(x)的

4、最大（或最小）值。一般地，在闭区间上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小会值。注：在开区间（a，b）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。例如f(x)=1/x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。1．求可导函数f(x)在[a，b]上最大值、最小值的方法。结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。例1（教材P137例1）求函数在区间[－2，2]上的最大值与最小值。解：=4x3-4x。令=0，有4x3-4x=0，解得：x=－1,0,1当x变

5、化时，，y的变化情况如下表：－2(－2,1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2－0+0－0+y1345413从上表可以看出，最大值是13，最小值是4。（如图2）。【解题回顾】设函数f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f(x)在（a，b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。〖对应练习〗：（P138练习）求下列函数在所给区间上的最大值与最小值。（1）y=x－x3,x∈[0,2]；（

6、2）y=x3+x2－x,x∈[－2,1]。参考答案：（1）y最大值=，y最小值=－6；（2）y最大值=1，y最小值=－2。【解题回顾】在求导数在闭区间[a，b]上最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在（a，b）内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。例2（教材P138例2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高h=60-x/2箱子容积V(x)=x2h=(60

7、x2－x3)/2(0

8、题，确定最大值或最小值点。2．在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。〖对应练习〗：（教材P139例3）本章引言中的问题。圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选