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1、[物理学7章习题解答]7-2一个运动质点的位移与时间的关系为 m,其中x的单位是m，t的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2) t=2s时质点的位移、速度和加速度。解(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式相比较，可以得到角频率s-1,频率,周期,振幅,初相位.(2) t=2s时质点的位移.t=2s时质点的速度 .t=2s时质点的加速度.7-3一个质量为2.5kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10n的拉力，其伸长量为5.0cm，求物体的振动周期。解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数 ,于是，振动系统的角频率为.所以，
2、物体的振动周期为.7-4求图7-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2。解以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-5所示的坐标系。若物体向右移动了x，则它所受的力为图7-5.根据牛顿第二定律，应有,改写为.所以 , .图7-67-5求图7-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2。解以平衡位置o为坐标原点，建立如图7-6所示的坐标系。当物体由原点o向右移动x时，弹簧1伸长了x1，弹簧2伸长了x2，并有 .物体所受的力为,式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得 , .于是，物体所受的力可另
3、写为,由上式可得 ,所以 .装置的振动角频率为 ,装置的振动频率为 .7-6仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解由教材中的例题7-3，单摆的角位移q与时间t的关系可以写为q=q0cos(wt+j),单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能,另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即,因为,所以上式可以化为 .于是就得到,由此可以求得单摆系统中物体的速度为 .这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。7-7与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为
4、a，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t=0时，小球的运动状态分别为(1) x=-a；(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；(3)过x=处，向x轴负方向运动；(4)过x=处，向x轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解(1)将t=0和x=-a代入,得,.(2)根据以及，可以得到,.由上两式可以解得 .(3)由和v<0可以得到,.由上两式可以解得.(4)由和v>0可以得到 , .由上两式可以解得 .7-8长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l+s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。(1)证明重物的运动是
5、简谐振动；图7-7(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解(1)以悬挂了重物后的平衡位置o为坐标原点，建立如图7-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点o时重力与弹力相平衡，即,. (1)当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s+x)，物体的运动方程可以写为,将式(1)代入上式，得 ,即.(2)重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。(2)令,(3)方程式(2)的解为. (4)振幅可以根据初始条件求得：当t=0时，x0=-s，v0=0，于是 .角频率和频率可以根据式(3)求得： ,.(3)位移与时间
6、的关系：由,以及当t=0时，x0=-s，v0=0，根据式(4)，可以得到,.由以上两式可解得.故有.7-9一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率n作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为m0，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。解设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-8所示的坐标系。图7-8由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为n的简谐振动。振动系统的加速度为,可见，加速度a的大小正比与振幅a，在最大位移处加速度为最大值 .最大加速度amax对应于最大振幅amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间
7、的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式,.由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为.图7-97-10一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率n作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。解设物体的质量为m，以平衡位置o为坐标原点建立如图7-9所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力mg和向上的支撑力n，可以列出下面的运动方程 .(1)由简谐振动,可以求得加速度.当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为,(2)负号表示加速度的方向向下。如果
