固体物理补充习题05

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1、固体物理补充习题(十四系用)1.将半径为R的刚性球分别排成简单立方(sc)、体心立方(bcc)和面心立方(fcc)三种结构,在这三种结构的间隙中分别填入半径为rp、rb和rf的小刚球,试分别求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。提示:每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置,可填充小刚球的大小也各不相同。2.格常数为a的简单二维密排晶格的基矢可以表为a1=aia2=ai+aj(1)求出其倒格子基矢b1和b2,证明倒格子仍为二维密排格子;(2)求出其倒格子原胞的面积Wb。3.由N个原子(或离子)所组成的晶体的体积V可以写为V=Nv=Nbr3,其中v为平均一个原子(或离子)所占的

2、体积,r为最近邻原子(或离子)间的距离,b是依赖于晶体结构的常数,试求下列各种晶体结构的b值:(1)sc结构(2)fcc结构(3)bcc结构(4)金刚石结构(5)NaCl结构。4.设两原子间的相互作用能可表示为其中,第一项为吸引能;第二项为排斥能;a、b、n和m均为大于零的常数。证明,要使这个两原子系统处于稳定平衡状态,必须满足n>m。5.设晶体的总相互作用能可表示为其中,A、B、m和n均为大于零的常数,r为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求:(1)平衡时,晶体中最近邻原子的间距r0和晶体的相互作用能U0;(2)设晶体的体积可表为V=Ngr3,其中N为晶体的原子总数,g为体积因

3、子。若平衡时晶体的体积为V0,证明:平衡时晶体的体积压缩模量K为。6.设有一由2N个离子组成的离子晶体,若只计入作近邻离子间的排斥作用,设两个离子间的势能具有如下的形式:(最近邻间)(最近邻以外)式中,l和r为参数;R为最近邻离子间距。若晶体的Madelung常数为a,最近邻的离子数为Z,求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。7.由N个原子组成的一维单原子晶体,格波方程为,若其端点固定,(1)证明所形成的格波具有驻波性质,格波方程可表为;5(2)利用边界条件xN=0,求q的分布密度和波数的总数;(3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。8.由2N个(设N很大)带

4、电荷±q的正负离子相间排列的一维晶体链,最近邻之间的排斥能为B/Rn,(1)试证在平衡时,晶体链的互作用能为;(2)若晶体被压缩,使,设d=1,证明在晶体被压缩过程中,外力对每一个离子所做的功的主项平均为,其中,。9.由N个原子组成的一维单原子链,原子间的相互作用能可表为,其中x为原子间距。试求(1)平衡时的原子间距x0与相互作用能u0;(2)若只考虑近邻原子间的相互作用,求原子链的弹性模量K。10.若一维单原子链的格波方程取为,证明:(1)格波的总能量为,这里m为原子质量,b为恢复力系数,求和指标n遍及所有原子;(2)每个原子的时间平均总能量。11.质量分别为M和m(设M>m

5、)的两种原子以和相间排成如图所示的一维晶体链,若只考虑近邻原子间的弹性相互作用,设相邻原子间的恢复力系数同为b,(1)写出每种原子的动力学方程式;(2)写出格波方程式;(3)导出色散关系式。12.在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。13.由N个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体,设格波的传播速度为c,应用Debye模型分别计算:(1)晶格振动的模式密度g(w);(2)截止频率wm;(3)Debye温度QD;(4)晶格热容CV;(5)晶体的零点振动能E0(用N和wm表示)。14.由N个质量为m的原子组成的一维单原子链,近邻原子间

6、距为a,相互作用的力常数为b,用格波模型求:(1)晶格振动的模式密度g(w);(2)晶体的零点能E0;5(3)晶格的热容量CV;15.在高温下(kBT?wm),试用Debye模型求三维简单晶格频率从0到wm中总的平均声子数(已知晶体体积为V,格波的传播速度为c)。16.在高温下(T?QD),根据Debye理论证明由N个原子组成的d维晶体的晶格热容为(1)一维:CV=NkB;(2)二维:CV=2NkB;(3)三维:CV=3NkB。17.Grüneisen常数(1)证明频率为wi的声子模式的自由能为;(2)以D表示体积相对改变,那么单位体积晶体的自由能可以表为其中B为体积弹性模量。

7、假设wi(q)与体积的依赖关系为dw/w=-gD,其中g为Grüneisen常数。如果将g看作与模式无关,证明当时,F相对于D为极小。18.已知三维晶体在q»0附近一支光学波的色散关系为其中Ax、Ay、Az为大于零的常数,试求这支光学波的模式密度g(w)的表达式。19.在Debye近似下证明T=0时,三维晶体中一个原子的均方位移为其中r为晶体的质量密度,c为声速,wD为Debye截止频率。提示:一个格波的平均能量可参考补充题10(2)及T=0时一个格波的能量。20.对于Cu,形成一个Scho

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