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1、平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义:如果,那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量[或,或],在平面内任找两个不共线的向量。由,得且,由此得到关于的方程组,解此方程组即可得到。方法二:任何一个的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是的一次方程。,称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。图1-1C1CByFADxA1D1zB1
2、E方法三(外积法):设,为空间中两个不平行的非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与,皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由的方向转为的方向时,大拇指所指的方向规定为的方向,。(注:1、二阶行列式:;2、适合右手定则。)例1、已知,,试求(1):(2):Key:(1);例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中,4图2-1-1αBAC求平面AEF的一个法向量。ABα图2-1-2C一、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角:如图2-1,设是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,,则AB与平面所成的角为:图2-1-1:图2-1-2
3、:α图2-3ββα图2-2(2)、求面面角:设向量,分别是平面、的法向量,则二面角的平面角为:(图2-2);(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中,的方向对平面而言向外,的方向对平面而言向内;在图2-3中,的方向对平面而言向内,的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。2、求空间距离(1)、异面直线之间距离:4方法指导:如图2-4,①作直线a、b的方向向量、,图2-4nabAB求
4、a、b的法向量,即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a、b上各取一点A、B,作向量;③求向量在上的射影d,则异面直线a、b间的距离为图2-5AαMBNO,其中(2)、点到平面的距离:方法指导:如图2-5,若点B为平面α外一点,点AAaBα图2-6为平面α内任一点,平面的法向量为,则点P到平面α的距离公式为(3)、直线与平面间的距离:图2-7αβAB方法指导:如图2-6,直线与平面之间的距离:,其中。是平面的法向量(4)、平面与平面间的距离:图2-8αa方法指导:如图2-7,两平行平面之间的距离:,其中。是平面、的法向量。图2-9αa1、证明图2-10β
5、α(1)、证明线面垂直:在图2-8中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线()。(2)、证明线面平行:在图2-9中,向是平面的法向量,是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直()。图2-11αβ(3)、证明面面垂直:在图2-10中,是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量垂直()4(4)、证明面面平行:在图2-11中,向是平面的法向量,是平面的法向量,证明两平面的法向量共线()。图3-1CDMAPB三、高考真题新解1、(2005全国I,18)(本大题满分12分)已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为
6、直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角;(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.,,设平面PAD的法向量为,,设平面PCD的法向量为,,即平面PAD平面PCD。,,,,设平在AMC的法向量为.又,设平面PCD的法向量为..面AMC与面BMC所成二面角的大小为.2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)图3-2如图3-2,在长方体ABCD-A1B1C
7、1D1中,已知AB=AA1=a,BC=a,M是AD的中点。(Ⅰ)求证:AD∥平面A1BC;4(Ⅱ)求证:平面A1MC⊥平面A1BD1;(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.,,设平面A1BC的法向量为又,,,即AD//平面A1BC.,,设平面A1MC的法向量为:,又,,设平面A1BD1的法向量为:,,,即平面A1MC平面A1BD1.设点A到平面A1MC的距离为d,是平面A1MC的法向量,又,A点到平面A1MC的距离为:.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建
8、立空间直角坐标系(利用现