高等数学 线性代数 习题答案第三章

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1、第三章习题3-11．设s=gt２，求．解：2．设f(x)=，求(x0)(x0≠0)．解：3．试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程。解：设切点为，则切线的斜率为，切线方程为。由已知直线过点(3,8),得(1)又点在曲线上，故(2)由(1),(2)式可解得或，故所求直线方程为或。也即或。4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1)=A;(2)f(x0)=0,＝A；(3)=A．27解：(1)(2)(3)5．求下列函数的导数：(1)y=；(2)y=；(3)y=．解：(1)

2、(2)(3)6．讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性．解：27函数在点处连续但不可导。7．如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0．证：为偶函数，即故8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1)y＝；(2)y=；(3)y=．解：(1)函数在处不可导。(2)函数在处不可导。(3)27函数在处不可导。9．已知f(x)＝求f′(x)．解：当时，，当时，综上所述10．设函数f(x)=为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?解：为使在处连续，必须，，(

3、1)为了使在处可导，必须，代入（1）式得当，时在处连续且可导。11．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性：(1)y=｜sinx｜，x=0;27(2)y=点；(3)y=点．解：(1)在处连续。又所以不存在，即在处不可导。(2)在处连续。在处可导。(3)而故在处连续。故在处不可导。2712．证明：双曲线xy＝a２上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在处切线的斜率该双曲线在处切线的方程为：令得该切线在轴上的截距为，令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴

4、构成的三角形的面积。13．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t－gt２(m)，求：(1)物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度；(2)速度函数v(t)；(3)物体何时到达最高点．解：(1)(2)(3)当时，物体到达最高点。由即得即上抛时物体到达最高点。14．设物体绕定轴旋转，在时间间隔［0,t］内，转过角度θ，从而转角θ是t的函数；θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称ω＝为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?解：设从时刻到间转过的角度

5、为，则27物体在时刻的角速度为。15．设Ｑ＝Ｑ（T）表示重1单位的金属从0℃加热到T℃所吸收的热量，当金属从T℃升温到(T+ΔT）℃时，所需的热量为ΔＱ＝Ｑ（T＋ΔT）－Ｑ（T），ΔＱ与ΔT之比称为T到T+ΔT的平均比热．试解答如下问题：(1)如何定义在T℃时，金属的比热；(2)当Ｑ（T）=aT＋bT２(其中a，b均为常数)时，求比热．解：(1)应以定义金属的比热；(2)当时，比热为。16．已知f(x)在x=x０点可导，证明：=(＋β)f′(x0)．证：当，时，习题3-21．求下列函数的导数：(1)s=3ln

6、t+sin；(2)y=lnx;(3)y=(1-x２)·sinx·(1-sinx);(4)y=；(5)y=tanx+eπ；(6)y=-3secx;(7)y=lnx-2lgx+3log2x;(8)y=．解：(1)(2)27(3)(4)(5)(6)(7)(8)2．求下列函数在给定点处的导数：(1)y=xsinx+cosx，求；(2)f(x)=+,求f′(0)和f′(2);(3)f(x)=求f′(1)．解：(1)(2)27(3)3．设p(x)=f1(x)f2(x)…fn(x)≠0,且所有的函数都可导，证明．证：.4．

7、求下列函数的导数：(1)y=;(2)y=arctanx2；(3)y=(4)y=(1+x2)·ln(x+);(5)y=x2·sin;(6)y=cos2ax3(a为常数)；(7)y=arccos;(8)y=(arcsin)2;(9)y=;(10)y=sinnx·cosnx;(11)y=；(12)y=arcsin；(13)y=lncosarctan(shx);27(14)y=＋arcsin（a＞0为常数）．解：(1);(2);(3);(4);(5)(6);(7)27(8);(9);(10);(11);(12);(1

8、3)27(14);5．y=arccos－２，求．解：6．试求曲线y=·在点(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程．解：故曲线在(0,1)点的切线斜率27曲线在(0,1)点的切线方程为即法线方程为即又此时，曲线具有垂直于x轴的切线x=-1,其法线为y=0.7．设f(x)可导，求下列函数y的导数：(1)y=f(x2)；(2)y=f(sin2x)+f(cos2x)．解：(1)(2)8．求下列隐函