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《高数课后习题难点67章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章1求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)r=3cosq及r=1+cosq解曲线r=3cosq与r=1+cosq交点的极坐标为,.由对称性,所求的面积为.(2)及.解曲线与的交点M的极坐标为M.所求的面积为.(3)摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0,绕直线y=2a.解.2求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.解设弦的倾角为a.由图可以看出,抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为.显然当时,A1=0;当时,A1>0.因此,抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为.3证明
2、由平面图形0£a£x£b,0£y£f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为.证明如图,在x处取一宽为dx的小曲边梯形,小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2px×f(x)dx,这就是体积元素,即dV=2px×f(x)dx,于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为.4计算抛物线y2=2px从顶点到这曲线上的一点M(x,y)的弧长.解.5在摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标.解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0),则.当t0=2p时,得第一拱弧长s(2p)=8a.为求
3、分摆线第一拱为1:3的点为A(x,y),令,解得,因而分点的坐标为:横坐标,纵坐标,故所求分点的坐标为.6直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功？解由玻-马定律知:.设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变,高度减小x厘米时压强为P(x)牛/厘米2,则,.功元素为,所求功为(J).y7.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体,尺寸如图所示.当水箱装满水时,计算水箱的一个端面所受的压力.解建立坐标系如图,则椭圆的方程为.压力元素为,所求压力为(吨)=17.3(kN).(提
4、示:积分中所作的变换为)8设有一长度为l、线密度为m的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.解建立坐标系如图.在细直棒上取一小段dy,引力元素为,dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为,.,.9.设有一半径为R、中心角为j的圆弧形细棒,其线密度为常数m.在圆心处有一质量为m的质点F.试求这细棒对质点M的引力.解根据对称性,Fy=0.,.引力的大小为,方向自M点起指向圆弧中点.10求圆盘绕y轴旋转而成的旋转体的体积.解..证明见第三题11抛物线被圆所需截下的有限部分的弧长.解由解得抛物线与
5、圆的两个交点为,,于是所求的弧长为.12半径为r的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重与水相同,现将球从水中取出,需作多少功?解建立坐标系如图.将球从水中取出时,球的各点上升的高度均为2r.在x处取一厚度为dx的薄片,在将球从水中取出的过程中,薄片在水下上升的高度为r+x,在水上上升的高度为r-x.在水下对薄片所做的功为零,在水上对薄片所做的功为,对球所做的功为.13.边长为a和b的矩形薄板,与液面成a角斜沉于液体内,长边平行于液面而位于深h处,设a>b,液体的比重为r,试求薄板每面所受的压力.解在水面上建立x轴,使长边与x轴在同一垂
6、面上,长边的上端点与原点对应.长边在x轴上的投影区间为[0,bcosa],在x处x轴到薄板的距离为h+xtana.压力元素为,薄板各面所受到的压力为.14.设星形线,上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方,在原点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解取弧微分ds为质点,则其质量为,其中.设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为Fx、Fy,则有,,所以.第七章1设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0;(2)cosb=1;(3)cosa=cosb=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解(1)当cosa=
7、0时,向量垂直于x轴,或者说是平行于yOz面.(2)当cosb=1时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于zOx面.(3)当cosa=cosb=0时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.2一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4,7.求这向量的起点A的坐标.解设点A的坐标为(x,y,z).由已知得,解得x=-2,y=3,z=0.点A的坐标为A(-2,3,0).3（1）设a、b、c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a×b+b×c+c×a.解因为a+b+c=0,所以(a+b+c)×(a+b+
8、c)=0,即a×a+b×b+c×c+2a×b+2a×c+2c×a=0,于是（2）设
9、a
10、=3,
11、b
12、=4,
13、c
14、=5,且满足a+b+c=0,求
15、a´b+b´c+c´a
16、解c=-(a+b),a´
