概率论习题解答(第4章)

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1、第4章习题答案三、解答题1.设随机变量的分布律为X–202pi0.40.30.3求,,.解:E(X)==+0+2=-0.2E(X2)==4+0+4=2.8E(3X+5)=3E(X)+5=3+5=4.42.同时掷八颗骰子,求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望.解:记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi,则Xi的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X,同时掷8颗骰子,相当于作了8次独立重复的试验,E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E(X)=8×21/3=283.某图书馆的读者借阅甲种图书的概

2、率为p1,借阅乙种图书的概率为p2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立,读者之间的行为也是相互独立的.(1)某天恰有n个读者,求借阅甲种图书的人数的数学期望.(2)某天恰有n个读者,求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望.解:(1)设借阅甲种图书的人数为X,则X~B(n,p1),所以E(X)=np1(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B(n,p),记A={借甲种图书},B={借乙种图书},则p={A∪B}=p1+p2-p1p2所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)4.将n个考生的

3、的录取通知书分别装入n个信封,在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出,用X表示n个考生中收到自己通知书的人数,求E(X).解:依题意,X~B(n,1/n),所以E(X)=1.5.设,且,求E(X).解:由题意知X~P(),则X的分布律P=,k=1,2,...又P=P,所以解得,所以E(X)=6.6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在?解:因为级数,而发散,所以X的数学期望不存在.7.某城市一天的用电量X(十万度计)是一个随机变量,其概率密度为求一天的平均耗电量.解:E(X)==6.

4、8.设某种家电的寿命X(以年计)是一个随机变量,其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X).解:由题意知,随机变量X的概率密度为当>5时,,当£5时,0.E(X)=所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9.在制作某种食品时,面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X).解:E(X)==1/410.设随机变量X的概率密度如下,求E(X).解:.11.设,求数学期望.解:X的分布律为,k=0,1,2,3,4,X取值为0,1,2,3,4时,相应的取值为0,1,0,-1,0,所以12.设风速V在(0

5、,a)上服从均匀分布,飞机机翼受到的正压力W是V的函数:,(k>0,常数),求W的数学期望.解:V的分布律为,所以13.设随机变量(X,Y)的分布律为YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X),E(Y),E(X–Y).解:E(X)=0×(3/28+9/28+3/28)+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2E(Y)=0×(3/28+3/14+1/28)+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3

6、/4E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.14.设随机变量(X,Y)具有概率密度,求E(X),E(Y),E(XY)解:E(X)=15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量,具有分布律X1011121314pi0.20.30.30.10.1所得利润(以元计)为,求E(Y),D(Y).解:E(Y)=E[1000(12-X)]=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1]=400E(Y

7、2)=E[10002(12-X)2]=10002[(12-10)2×0.2+(12-11)2×0.3+(12-12)2×0.3+(12-13)2×0.1+(12-14)2×0.1]=1.6×106D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=1.6×106-4002=1.44×10616.设随机变量X服从几何分布,其分布律为其中0

8、),D(X).解:E(X)=D(X)=E(X2)=18.设随机变量(X,Y)具有D(X)=9,D(Y)=4,,求,.解:因为,所以=-1/6×3×2=-1,19.在题13中求Cov(X,Y),rXY.解:E(X)=1/2,E(Y)=3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28)+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)=02×(3/28+9/28+3/28)+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)=0

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