概率论习题解答(第4章)

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1、第4章习题答案三、解答题1.设随机变量的分布律为X–202pi0.40.30.3求，，．解：E(X)==+0+2=-0.2E(X2)==4+0+4=2.8E(3X+5)=3E(X)+5=3+5=4.42.同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi的分布律为记掷8颗骰子所掷出的点数为X，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，E(Xi)=1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6E(X)=8×21/3=283.某图书馆的读者借阅甲种图书的概

2、率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．(1)某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2)某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1)设借阅甲种图书的人数为X，则X~B(n,p1),所以E(X)=np1(2)设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y,则Y~B(n,p),记A={借甲种图书}，B={借乙种图书}，则p=｛A∪B｝=p1+p2-p1p2所以E(Y)=n(p1+p2-p1p2)4.将n个考生的

3、的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E(X)=1.5.设，且，求E(X)．解：由题意知X～P（），则X的分布律P=，k=1,2,...又P=P,所以解得，所以E(X)=6.6.设随机变量X的分布律为问X的数学期望是否存在？解：因为级数，而发散，所以X的数学期望不存在.7.某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为求一天的平均耗电量．解：E(X)==6.

4、8.设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)．解：由题意知，随机变量X的概率密度为当>5时，，当£5时，0.E(X)=所以这种家电的平均寿命E(X)=10年.9.在制作某种食品时，面粉所占的比例X的概率密度为求X的数学期望E(X)．解：E(X)==1/410.设随机变量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11.设，求数学期望．解：X的分布律为，k=0，1，2，3，4，X取值为0，1，2，3，4时，相应的取值为0，1，0，-1，0，所以12.设风速V在(0

5、，a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W是V的函数：，（k>0，常数），求W的数学期望．解：V的分布律为，所以13.设随机变量(X,Y)的分布律为YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y)，E(X–Y)．解：E(X)=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+2×(1/28+0+0)=7/14=1/2E(Y)=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+2×(3/28+0+0)=21/28=3

6、/4E(X-Y)=E(X)-E(Y)=1/2-3/4=-1/4.14.设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)=15.某工厂完成某批产品生产的天数X是一个随机变量，具有分布律X1011121314pi0.20.30.30.10.1所得利润（以元计）为,求E(Y)，D(Y)．解：E(Y)=E［1000(12-X)］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1]=400E(Y

7、2)=E［10002(12-X)2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1+（12-14）2×0.1]=1.6×106D(Y)=E(Y2)-［E(Y)］2=1.6×106-4002=1.44×10616.设随机变量X服从几何分布，其分布律为其中0

8、)，D(X)．解：E(X)=D(X)=E(X2)=18.设随机变量(X，Y)具有D(X)=9，D(Y)=4，，求，．解：因为，所以=-1/6×3×2=-1,19.在题13中求Cov(X，Y)，rXY．解：E(X)=1/2,E(Y)=3/4,E(XY)=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14,E(X2)=02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+22×(1/28+0+0)=4/7,E(Y2)=0