习题2 质点动力学

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1、习题22-1　一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，题2-1图　求该质点的运动轨道.解:物体置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐标：取方向为轴，平行斜面与轴垂直方向为轴.如图2-1.题2-1图方向：①方向：②时由①、②式消去，得2-2　质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6N，fy＝－7N.当t＝0时，x＝y＝0，vx＝－2m·s－1，vy＝0.求当t＝2s时质点的位矢和速度.解：(1)于是质点在时的速度(2)2-3　质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用

2、，t＝0时质点的速度为v0.证明：(1)t时刻的速度为；(2)由0到t的时间内经过的距离为；(3)停止运动前经过的距离为；(4)证明当时速度减至v0的，式中m为质点的质量.答:(1)∵分离变量，得即∴(2)(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有(4)当t=时，其速度为即速度减至的.2-4　一质量为m的质点以与地面仰角θ＝30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.解:依题意作出示意图如题2-4图题2-4图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对轴对称性，故末速度与轴夹角亦为，则动量的增量为由矢量

3、图知，动量增量大小为，方向竖直向下．2-5　作用在质量为10kg的物体上的力为，式中t的单位是s.(1)求4s后，物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；(2)为了使冲量为200N·s，该力应在这物体上作用多久？试就一原来静止的物体和一个具有初速度－6jm·s－1的物体，回答这两个问题.解:(1)若物体原来静止，则,沿轴正向，若物体原来具有初速，则于是,同理，,这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即亦即解得，(舍去)2-6　一颗子弹由枪口射出

4、时速率为v0m·s－1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F＝(a－bt)N(a，b为常数)，其中t以s为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量.解:(1)由题意，子弹到枪口时，有,得(2)子弹所受的冲量将代入，得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-7　设F＝7i－6jN.(1)当一质点从原点运动到r＝－3i＋4j＋16km时，求F所做的功；(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率；(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化.解:(1)由题知，为恒力，∴(2)(3)由动能定理，2-8　如题2-8图所示

5、，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s－1从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回.求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.　题2-8图解:取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 式中，，再代入有关数据，解得再次运用功能原理，求木块弹回的高度代入有关数据，得,则木块弹回高度2-9　一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直.题2-9　证:两小球碰撞过程中，机械能守恒，有即①题2-9图(a)题2-9图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有亦即②由②可作出矢量

6、三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以为斜边，故知与是互相垂直的．2-10　一质量为m的质点位于(x1，y1)处，速度为，质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.解:由题知，质点的位矢为作用在质点上的力为所以，质点对原点的角动量为作用在质点上的力的力矩为2-11　哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m时的速率是v1＝5.46×104m/s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×102m/s，这时它离太阳的距离r2是多少？(太阳位于椭圆的一个焦点)解:哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力—

7、—即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 ∴2-12　物体质量为3kg，t＝0时位于r＝4im，v＝i＋6jm/s，如一恒力f＝5jN作用在物体上.求3s后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化.解:(1)(2)解(一)即,即,∴∴解(二)∵∴