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《王利军布朗运动的理论研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、布朗运动的理论研究摘要：布朗运动的发现激发了人们对这种运动的研究兴趣，随着研究的深入，人们对这种运动的理论日趋清楚，提供给科学与工程为建立随机模式的一个不可缺的基本工具，布朗运动在随机过程的动力论中也扮演着一个重要的角色，也使随机过程的理论添加了新的生命.关键词：布朗运动爱因斯坦理论朗之万理论扩散维纳过程数学模式一引言1827年,英国植物学家布朗用显微镜观察水中悬浮的花粉时发现这些花粉颗粒不停地做无规则的运动.接着他又把碎玻璃片碾成粉末和墨汁分别撒在水中,同样能观察到这些粉末和碳粒均做无规则运动,并且颗粒越小、温度越高,这种无规则运动
2、越显著,布朗把他的实验过程详细地记载下来,写在他于1828年出版的《植物花粉的显微观察》一书中.可是他当时并不理解产生这种运动的原因，但他为后人提供了一个作深入研究的课题.后人为了纪念他,把他观察的小颗粒运动命名为“布朗运动”.1877年,德索耳提出,微粒受到周围媒质分子不平衡的碰撞是产生布朗运动的原因.1905年物理学家爱因斯坦发表了对布朗运动的理论研究成果.但最引人注目的是爱因斯坦发表在德国的《物理学年鉴》第四篇第17卷上题为“热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动”第10页（共10页）的论文,该论文也是爱因斯坦在1905年
3、富有创造性研究中的首篇.在这篇论文中,爱因斯坦把显微镜下可见粒子的运动看作是显微镜下看不到的液体分子运动的表征,证明了布朗粒子的运动是由于液体分子从四面八方对它撞击引起的,这种撞击的不规则性和偶然性,使来自不同方向的作用互不完全抵消.随后斯莫陆绰斯基(1906年)、朗之万(1908年)都发表了各自关于布朗运动的理论工作,证明布朗粒子位移平方的平均值正比于时间ｔ[1].1923年，维纳首先把布朗运动当作一种随机过程来研究.因此，布朗运动也叫做维纳过程.不久，PaulLevy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如今布朗运动在理论上与
4、应用上已与帕松过程构成了两种最基本的随机过程[2].经由谨慎的实验及讨论，科学家发现布朗运动有下列主要特性：1粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线.2粒子的移动互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此.3粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼.4粒子的成分及密度对其运动没有影响.5粒子的运动永不停止.二爱因斯坦理论二十世纪初，爱因斯坦及斯莫陆绰斯基发现不管粒子的运动有多么不规则，布朗运动仍可以用机率律来分析，其研究说明了粒子在一段时间内的位移是根据常态分配的.爱因斯坦
5、的工作可说是布朗运动的动力论的先驱.其理论概述如下：令是一个布朗运动粒子在时间t及位置x时之机率密度().然后在某些机率假设下，爱因斯坦导出(1)这里D是一正常数，称之为扩散系数.假若粒子在t=0的位置为x=0，则第10页（共10页）(2)三朗之万理论悬浮在流体中的布朗粒子比流体分子大几十万倍,布朗粒子的运动速度比流体分子的速度为甚小.朗之万将流体分子对布朗粒子的作用力分为两种,一种是外力场的力,如重力;另一种是周围分子作用力,可分成三部分:(1)浮力;(2)粘滞阻力.粒子以速度ｖ运动,ｖ不大时,粘滞阻力ｆ=-αｖα是阻力系数;(3)
6、涨落不定的无规力Ｆ(ｔ),无规力脉冲持续时间甚短,彼此全无关联,所以其时间平均值等于零,即(1)设布朗粒子质量为ｍ,在水中运动.平行于水面的ｘ方向上,重力、浮力都不出现,根据牛顿第二定律,写出ｘ方向投影式. (2)式中Ｘ是Ｆ(ｔ)在ｘ方向上的分力.(1)式就叫做朗之万方程.以ｘ遍乘(2)式,得 (3)注意到 (4)(5)由（3）可得(6)上式对大量粒子求平均,也就是对各布朗粒子写出上式,累加后除以布朗粒子数.因最末项(7)第10页（共10页）而对上式第二项,将能均分定理用到布朗粒子上有(8)经整理得 (9)(9)式是一个二阶常系
7、数线性非齐次微分方程,其通解为(10)Ｃ1、Ｃ2是积分常数.设ｔ=0时布朗粒子在ｘ=0处,且初速率为零,于是 (11)若时间很短,即,（12）则 (13)表明在很短的时间内,平均粒子以恒速运动.若时间较长,,即,则,于是 (14)(14)式表明时间间隔较长时,,这正是理论结论.为简化问题,设布朗粒子呈圆球形,由流体力学的斯托克斯定律,粘滞阻力,与前比较知,代入(14)式得 (15)第10页（共10页）(15)式被称为爱因斯坦关系式[3].四布朗粒子的扩散设流体中有Ｎ个布朗粒子,初始时刻都集中在原点,由于有布朗运动,布朗粒子向四周扩张.
8、以ｎ(ｒ,ｔ)表示布朗粒子的数密度,Ｊ(ｒ,ｔ)表示单位时间内通过单位截面的粒子数,Ｊ称为流密度.用扩散的观点,仍能推得(5)式结果,推导如下:按Ｆｉｃｋ定律 (1)负号表示粒子由浓度高处向低处扩散.由于粒子在流体中的
