高考如何提升自己的成绩专题讲座之数列

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选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库第六编数列§6.1数列的概念及简单表示法1.下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是（填序号）.答案①③2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第项的和最大.答案10或113.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a、b为常数，则ab=.答案-14.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=.答案205.（2008·北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=.答案-30例1写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2），，，，，…；（3）-1，，-，，-，，…；（4），-1，，-，，-，…；（5）3，33，333，3333，….解（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库所以an=（-1）n·.也可写为an=.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)n+1·.（5）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).例2已知数列的通项公式为an=.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.∵n=7时成立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an==＞0.∴此数列为递增数列.例3（14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,求an.解∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2，4分∴数列是公差为2的等差数列.6分又S1=a1=，∴=2，∴=2+（n-1）·2=2n，∴Sn=.10分∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··=-，12分选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴an=.14分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），，，，，…（2），2，，8，，…（3）5，55，555，5555，55555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7，15，31，…解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，，，…，可得通项公式an=.（3）联想=10n-1,则an===(10n-1),即an=(10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin.（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.（1）解∵f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.∴a+2n·an-1=0.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴an=，又an＞0，∴an=-n.（2）证明∵an＞0，且an=-n,∴==＜1.∴an+1＜an.即{an}为递减数列.3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解∵2=an+1,∴Sn=(a+2an+1),∴Sn-1=(a+2an-1+1),∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=［（a-a）+2（an-an-1）］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an=2n-1(n∈N*).一、填空题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是.答案142.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5=.答案3.数列-1,，-，，…的一个通项公式是.答案an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块.（用含n的代数式表示）选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库答案4n+85.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=.答案86.若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=(用含n的代数式表示）.答案7.（2008·沈阳模拟）数列{an}满足an+1=a1=，则数列的第2008项为.答案8.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=.答案n二、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),∴{an}的通项公式为an=10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解（1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=,a3=3-4,∴a3=-,a4=3-4,∴a4=.∴a2=，a3=-，a4=.（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴,可得:3an+1=an+1-an,∴=-，∴a2，a3，…，an成等比数列，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴an=a2·qn-2=·=-，∴an=.11.在数列{an}中，a1=，an=1-(n≥2,n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求a2008.（1）证明an+3=1-=1-=1-==1-=1-=1-=1-(1-an)=an.∴an+3=an.（2）解由（1）知数列{an}的周期T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=.∴a2008=.12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+∞）上递增，故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5,∴an=.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库§6.2等差数列及其前n项和1.（2008·广东理，2）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6=.答案482.（2008·陕西理，4）已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10=.答案1003.（2008·全国Ⅰ理，5）已知等差数列满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=.答案954.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是个.答案5选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库5.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a12+a17+a19=8，则S25的值为.答案50例1已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求证：数列{bn}是等差数列.证明∵an+1-2=2-=∴===+∴-=，∴bn+1-bn=.∴数列{bn}是等差数列.例2在等差数列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1.解（1）方法一设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,∴.解方程组得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：,∴,∴.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首项为2.∴a1=2.例3（14分）在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解方法一∵a1=20，S10=S15，∴10×20+d=15×20+d，∴d=-.4分选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴an=20+（n-1）×(-)=-n+.8分∴a13=0.10分即当n≤12时，an＞0,n≥14时，an＜0.∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=12×20+(-)=130.14分方法二同方法一求得d=-.4分∴Sn=20n+·(-)=-n2+n=-+.8分∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.14分方法三同方法一得d=-.4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130.14分1.设两个数列{an},{bn}满足bn=，若{bn}为等差数列，求证：{an}也为等差数列.证明由题意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn，①从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=bn-1(n≥2),②由①-②，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d为{bn}的公差(n≥2).从而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1，a2=选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴a2-a1=-b1==.综上，an+1-an=d（n∈N*）.所以{an}是等差数列.2.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.解设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,∵S7=7,S15=75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,∴Tn=n2-n.3.等差数列{an}中，a1＜0,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解由条件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a1＜0知d＞0,即数列{an}为递增数列.方法一由，得,解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小.方法二∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.又∵a1＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小.方法三∵S9=S12，∴Sn的图象所在抛物线的对称轴为x==10.5,又n∈N*，a1＜0,∴{an}的前10项或前11项和最小.方法四由Sn=na1+d=+n，结合d=-a1得选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库Sn=·n2+·n=-+a1（a1＜0），由二次函数的性质可知n==10.5时，Sn最小.又n∈N*，故n=10或11时Sn取得最小值.一、填空题1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4=.答案82.在等差数列{an}中，已知a=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.答案423.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为.答案34.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为.答案an=4n-35.（2009·东海高级中学月考）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80，则a11+a12+a13=.答案1056.(2009·兴化市板桥高级中学12月月考)数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn，则数列的前11项和为.答案-667.（2008·重庆理，14）设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.答案-728.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1∈N*.设cn=a(n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于.答案85二、解答题9.已知数列{an}中，a1=，an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.所以当n≥2时，bn-bn-1=-=-=-=1.又b1==-.所以，数列{bn}是以-为首项，以1为公差的等差数列.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（2）解由（1）知，bn=n-,则an=1+=1+.设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.10.等差数列{an}的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解设等差数列{an}的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S奇=(m+1)am+1=216①S偶=mam+1=192②①÷②,得=，解得,m=8,∴数列共有2m+1=17项，把m=8代入②，得a9=24,又∵a1+a17=2a9，∴a17=2a9-a1=47，且d==.an=1+(n-1)×=(n∈N*,n≤17).11.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5;S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式.解方法一设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则Sn=na+d，依题意，有整理得∴a=1，d=0或a=4，d=-.∴an=1或an=，经检验，an=1和an=均合题意.∴所求等差数列的通项公式为an=1或an=.方法二因Sn是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列.依题意得选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库解得或由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=-，a5=-，∴d=0或d=-.∴an=a4+（n-4）×0=1或an=a4+（n-4）×(-)=-n.故所求等差数列的通项公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4=117,a2+a5=22.（1）求通项an;(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解（1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.(2)由(1)知Sn==2n2-n,所以bn==.方法一所以b1=,b2=,b3=(c≠0).令2b2=b1+b3,解得c=-.当c=-时，bn==2n,当n≥2时，bn-bn-1=2.故当c=-时，数列{bn}为等差数列.方法二当n≥2时，bn-bn-1==,欲使{bn}为等差数列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1)(c≠0)解得c=-.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库§6.3等比数列及其前n项和1.（2008·海南、宁夏理，4）设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=.答案2.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为.答案1或-3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b=,ac=.答案-394.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8=.答案45.（2008·浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=.答案(1-4-n)例1已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通项公式.解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q，∴+2q=.解得q1=，q2=3.①当q=时，a1=18，∴an=18×()n-1==2×33-n.②当q=3时，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，则a2，a4为方程x2-x+4=0的两根，解得或.①当a2=时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②当a2=6时，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.例2（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2)，求{cn}的通项公式.（1）证明由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，为公比的等比数列.6分（2）解方法一由（1）知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2),8分∴2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn(n≥2).又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,即c2=c1.∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列.12分∴cn=·()n-1=()n.14分方法二由（1）bn=(-)·()n-1=-()n.∴an=-()n+1.∴cn=-()+1-选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库=-==（n≥2）.12分又c1=a1=也适合上式，∴cn=.14分例3在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且++++=2,求a3.解方法一设公比为q,显然q≠1,∵{an}是等比数列，∴也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,∴a=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得：++===2.∴a=4.∴a3=±2.例4某林场有荒山3250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解（1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+(n-1)d=100n+×50=3250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，……，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列{bn}，则其和为T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1100×1.1≈1.0（万立方米）.答需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库1.已知等比数列{an}中，a3=,S3=4,求a1.解当q=1时，a1=a2=a3=,满足S3=4,当q≠1时，依题意有,解得q2=,a1=6.综上可得：a1=或a1=6.2.设数列{an}是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列{an}中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,…,nt,…（t∈N*）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a5,,,…,,…是等比数列，求数列{nt}的通项公式.解（1）设{an}的公差为d,则由a5=a3+2d,得d==,由ama3=a,即3=62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）∵a3=2，a5=6，∴d==2，∴当n≥5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5,,,…,,…成等比数列，则q===3,=a5·3t,t=1,2,3,….又an=2n-4,∴2n-4=a5·3t=6·3t,∴2n=2·3t+1+4.即n=3t+1+2,t=1,2,3,….3.（1）在等比数列{an}中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列{an}中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解（1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).∴a5+a6=4.（2）∵a3a5=a，∴a3a4a5=a=8，∴a4=2，又∵a2a6=a3a5=a，∴a2a3a4a5a6=a=32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),∴是以-为首项，为公比的等比数列，则an+1=-n,∵an+1＞50%,∴-n＞,∴n﹤,n＞log==3.则当n≥4时，不等式n﹤恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.一、填空题1.（2008·福建理）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}的前7项的和为.答案1272.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是.答案13.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，的值为.答案4.等比数列{an}前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是.答案T175.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为.答案6.已知等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=.答案4807.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=（对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的值是.答案28.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an=.答案·2n-1或-（-2）n-1二、解答题9.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(an-1).选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（1）求a1,a2;(2)证明：数列{an}是等比数列；（3）求an及Sn.（1）解∵a1=S1=（a1-1），∴a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),∴a2=.(2)证明∵Sn=（an-1），∴Sn+1=（an+1-1），两式相减，得an+1=an+1-an,即an+1=-an,∴数列{an}是首项为-，公比为-的等比数列.（3）解由（2）得an=-·(-)n-1=-(-)n,Sn=.10.数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n(n∈N*).(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：{bn}是等比数列.（1）解∵{anan+1}是公比为3的等比数列，∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，∴a3==6，a4==9，a5==18，a6==27.（2）证明∵{anan+1}是公比为3的等比数列，∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.∴==3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列{an}的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*），其中m为常数，且m≠-3,m≠0.（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求证：为等差数列，并求bn.证明（1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m≠-3,∴=≠0(n≥1).∴{an}是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,∴b1=1.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库q=f(m)=,n∈N且n≥2时，bn=f(bn-1)=·，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出-=.∴是以1为首项、为公差的等差数列.∴=1+=.∴bn=.12.（2008·四川文，21）设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：{an+1-2an}是等比数列；（3）求{an}的通项公式.(1)解因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1.①所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)·2n-1.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库§6.4数列的通项公式及求和1.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1，公比为3的等比数列，则an=.答案2.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于.答案n2+1-3.如果数列满足a1=2，a2=1，且=(n≥2)，则此数列的第10项为.答案4.设函数f（x）=x+ax的导数为f/（x）=2x+1，则数列（N）的前n项和是（用含n的代数式表示）.答案5.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…).则它的通项公式是an=.答案选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库例1已知数列{an}满足an+1=,a1=2,求数列{an}的通项公式.解已知递推式可化为-=,∴-=,-=,-=,…-=,将以上(n-1)个式子相加得-=+++…+,∴==1-,∴an=.例2求和：Sn=+++…+.解（1）a=1时，Sn=1+2+…+n=.（2）a≠1时，Sn=+++…+①Sn=++…++②由①-②得Sn=+++…+-=-,∴Sn=.综上所述，Sn=.例3（14分）已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S=an(Sn-).（1）求Sn的表达式；（2）设bn=，求{bn}的前n项和Tn.解（1）∵S=an，an=Sn-Sn-1，（n≥2），∴S=（Sn-Sn-1）,即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn，①4分由题意Sn-1·Sn≠0，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库①式两边同除以Sn-1·Sn，得-=2，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列.6分∴=1+2（n-1）=2n-1，∴Sn=.8分（2）又bn===，10分∴Tn=b1+b2+…+bn===.14分1.（2008·江西理）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则an=.答案2+lnn2.（2008·全国Ⅰ文，19）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)设bn=.证明：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn.（1）证明∵an+1=2an+2n，∴=+1，∵bn=，∴bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由（1）知,bn=n,an=n2n-1,则Sn=1·20+2·21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-12Sn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n两式相减，得：Sn=n·2n-1·20-21-…-2n-1=n·2n-2n+1.3.（2008·湖州模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c（n∈N*），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn.解（1）由已知有解得所以Sn=n2+n+1.当n≥2时，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库an=Sn-Sn-1=n2+n+1-［(n-1)2+(n-1)+1］=2n,所以an=(2)令bn=,则b1==.当n≥2时，bn==·.所以b2+…+bn==.所以Tn=+=(n∈N*).一、填空题1.对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是.答案2n+1-22.数列{an}的通项公式an=，若前n项的和为10，则项数n=.答案1203.数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5=.答案4.数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n项和Sn＞1020，那么n的最小值是.答案105.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2（4n+3），则它的前n个奇数项的和为.答案n2（4n-3）6.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=.答案(-1)n+17.（2008·启东中学模拟）已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=.答案n2-2n+218.若数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N*),则an=.答案二、解答题选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库9.Sn是数列{an}的前n项和，an=，求Sn.解∵an===1+=1+，∴Sn=n+（1-+-+-+…+-）=n+=n+=.10.（2008·江西文，19）等差数列{an}的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与bn;(2)求.解(1)设{an}的公差为d、{bn}的公比为q，则d为正数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依题意有解得或（舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以=+++…+===-.11.设数列{an}的前n项和Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.解（1）由于Sn=2n2,∴n=1时，a1=S1=2；n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适合.∴an=4n-2，∴b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，∴b2=，∴bn=2·n-1.（2）cn==（2n-1）·4n-1，选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴Tn=1+3·4+5·42+…+（2n-1）·4n-1，∴4Tn=4+3·42+…+（2n-3）·4n-1+（2n-1）·4n，∴-3Tn=1+2·4+2·42+…+2·4n-1-（2n-1）·4n=1+2·-（2n-1）·4n=·4n-，∴Tn=-·4n.12.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求数列{an}的通项an;（2）求数列{nan}的前n项和Tn.解（1）∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1=a1=1,∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).当n≥2时，an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),∴an=（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.当n=1时，T1=1;当n≥2时，Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·-2n·3n-1=-1+(1-2n)·3n-1.∴Tn=+·3n-1(n≥2).又∵T1=a1=1也满足上式，∴Tn=+3n-1(n-)(n∈N*).选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库§6.5数列的综合应用1.（2008·山东文，15）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于.答案20082.设f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N*)，则f(n)=.答案(8n+1-1)3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为.答案-44.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则公比q=.答案-25.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是.答案65例1数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an=3n-1.（2）设{bn}的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.例2（14分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn，当a=时，求Sn.（1）证明f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,2分可得an=a2n+2.∴===a2（n≥2）为定值.4分∴{an}为等比数列.6分(2)解bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a=时，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.8分Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.14分例3假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.由题意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.当n=5时，a5﹤0.85b5,当n=6时，a6＞0.85b6,∴满足上述不等式的最小正整数n为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库1.已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且(n≥2).(1)令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn.解（1）当n≥2时，cn=an+bn=+=an-1+bn-1+2,∴cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2(n≥2)∴数列{cn}为等差数列，首项c1=a1+b1=3,公差d=2.∴cn=3+（n-1）×2=2n+1.（2）当n≥2时，①-②得：an-bn=(an-1-bn-1)（n≥2）,∴数列{an-bn}为等比数列，首项为a1-b1=1，公比q=，∴an-bn=()n-1.③由（1）知：an+bn=2n+1,④③+④得2an=(2n+1)+()n-1∴an=+∴Sn=++…++==.2.已知数列{an}满足a1=2,且点（an,an+1）在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,….（1）证明：数列{lg(1+an)}是等比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项.（1）证明由于(an,an+1)在函数f(x)的图象上，∴an+1=a+2an,∴an+1+1=（an+1）2.∵a1=2，∴an+1＞1,∴lg（an+1+1）=2lg（an+1）.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴数列{lg(an+1)}是公比为2的等比数列.（2）解由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg3=lg.∴an+1=.∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=···…·==.∴Tn=,an=-1.3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.（1）解我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（2）证明T1=a1,对n≥2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.①在①式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-an=［(1+r)n-1-r］+a1(1+r)n-an,即Tn=(1+r)n-n-.如果记An=(1+r)n,Bn=--n,则Tn=An+Bn,其中{An}是以(1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{Bn}是以--为首项，-为公差的等差数列.一、填空题1.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则a3+a9b4+b10.(用“≤”,“≥”或“=”填空)答案≥选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库2.(2008·桂林模拟)数列1，，，…，，…的前n项和为.答案3.已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为.答案84.（2009·范水高级中学高三期中）在公差不为零的等差数列{an}中，有2a3-a+2a11=0,数列{bn}是等比数列，且b7=a7,则b6b8=.答案165.已知等比数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于.答案1326.（2008·衡水调研）设y=f(x）是一次函数，f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+…+f(2n)=.答案n(2n+3)7.观察下列数表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15…则2008是此表中的第行的第个数.答案119858.（2008·福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含个互不重叠的单位正方形.答案4901二、解答题9.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式；（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.解（1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0.解得a1=20,d=-2,因此{an}的通项公式是an=22-2n,（n=1,2,3,…）.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(2)由，得即.解得-﹤d≤-,又d∈Z,故d=-1.∴10＜a1≤12,a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3…）.10.将函数f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在区间（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n=1,2,3,…).(1)求数列{an}的通项公式；（2）设bn=sinansinan+1sinan+2,求证：bn=（n=1，2，3，…）.（1）解∵f（x）=sinx·sin(x+)·sin(x+)=sinx··cosx=-sinx·cosx=-sin3x∴f（x）的极值点为x=+，k∈Z，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，∴an=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）.（2）证明由an=知对任意正整数n,an都不是的整数倍.所以sinan≠0,从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0.于是====-1.又b1=sin·sin·sin=,{bn}是以为首项，-1为公比的等比数列.∴bn=（n=1，2，3，…）.11.已知Sn是数列{an}的前n项和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库解（1）由已知an=Sn-1+2①得an+1=Sn+2②②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2),∴an+1=2an(n≥2).又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,∴an+1=2an(n=1,2,3,…)所以数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2·2n-1=2n.(2)bn===,∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+,Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)=++…+++.∴Tn+1-Tn=+-==.∵n是正整数，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn.∴数列{Tn}是一个单调递增数列，又T1=b2=，∴Tn≥T1=,要使Tn＞恒成立，则有＞,即k﹤6,又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn＞恒成立.12.（2008·大庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N*).(1)求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列{bn}满足：b1=,=(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.（1）证明将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得=2×(n∈N*).又由已知=1,所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）解由（1）的结论可得=2n-1,∴Sn=n·2n-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n·2n-1-（n-1）·2n-2=2n-2（n+1）.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库由已知，a1=1,又当n=1时，2n-2(n+1)=1,∴an=(n+1)2n-2(n∈N*).(3)解由=(n∈N*),得=+2n-1,由此式可得=+2n-2,=+2n-3,…=+23-2,=+22-2.把以上各等式相加得，=2n-2+2n-3+…+23-2+22-2+b1.∵b1=,∴=+,∴bn=(2n-1)(n∈N*).单元检测六一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是.答案152.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5,则S8=.答案723.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=.答案34.已知数列{an}中，an=n(2n-1)，其前n项和为Sn,则Sn+n(n+1)=.答案(n-1)·2n+1+25.已知数列{an}的通项公式是an=，其前n项和Sn=，则项数n=.答案66.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对任意n(n∈N*)，都有an+1＞an”的条件.选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库答案既不充分也不必要7.在等比数列{an}中，a1=3,前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn=.答案3n8.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=.答案2n-19.等比数列{an}中，a20+a21=10,a22+a23=20,则a24+a25=.答案4010.（2009·东海高级中学高三调研）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=-2008，-=2，则S的值为.答案-200811.把49个数排成如图所示的数表,若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列,每列的7个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数a44=1,则表中所有数的和为.aaaaaaaAa答案4912.（2008·四川理，16）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为.答案413.将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是.答案3495014.若表示一种运算，且有如下表示：11=2、mn=k、(m+1)n=k-1、m(n+1)=k+2,则20072007=.答案2008二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.（14分）数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2|an|,Tn为数列的前n项和，求Tn.解（1）当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列.q≠1时，=+得2q2=q3+q4,∴q2+q-2=0,∴q=-2.∴an=4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1.==-∴Tn=++…+选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库=-=.16.（14分）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn，且a3=10,S6=72.若bn=an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.解在数列{an}中，∵2an+1=an+an+2,∴{an}为等差数列，设公差为d,由,得.∴an=a1+(n-1)d=4n-2,∴bn=an-30=2n-31∴n≤15时，bn＜0,n≥16时，bn＞0.∴{bn}的前15项的和最小为-225.17.(14分)等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak,ak,…,ak,…成等比数列.（1）求数列{kn}的通项kn;（2）求数列的前n项和Sn.解（1）由已知得(a1+d)2=a1·(a1+3d),解得a1=d或d=0（舍去），所以数列{an}的通项是an=nd,因为数列a1,a3,ak,ak,…,ak,…成等比数列，即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列，其公比q==3,k1d=32d,故k1=9,所以数列{kn}是以k1=9为首项，以3为公比的等比数列，故kn=9×3n-1=3n+1.(2)Sn=+++…+①Sn=+++…++②①-②并整理得Sn=-.18.（2008·厦门模拟）（16分）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1-an-1=0，数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.（1）求S；（2）求bn.解（1）∵an+1-an-1=0，∴an+1-an=1.∴数列{an}是以a1=1为首项,d=1为公差的等差数列.∴S=200×1+×1=20100.（2）由（1）得an=n,∴nbn+1=2(n+1)bn.∴=2·.∴是以=2为首项，q=2为公比的等比数列.∴=2×2n-1.∴bn=n·2n.19.（16分）设数列{an}的首项a1=a≠，且an+1=选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库记bn=a2n-1-,n=1,2,3,….(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.解（1）a2=a1+=a+,a3=a2=a+.(2)因为a4=a3+=a+,a5=a4=a+.所以b1=a1-=a-≠0,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-).证明如下：因为bn+1=a2n+1-=a2n-=-==bn(n∈N*),即=.所以数列{bn}为等比数列.20.（2008·湖北文，21）（16分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数,数列{an}不是等比数列；（2）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列；（3）设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数,使得对任意正整数n，都有Sn＞-12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明假设存在一个实数,使{an}是等比数列，则有a=a1a3,即=2-4+9=2-49=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.（2）证明因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+1=-(-1)n·(an-3n+21)=-bn.又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.由上式知bn≠0,所以=-(n∈N*).故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.（3）解当≠-18时，由（2）得：选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库 选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库bn=-(+18)·,于是Sn=-(+18)·.当=-18时，bn=0，从而Sn=0，上式成立.要使对任意正整数n，都有Sn＞12.即-(+18)·＞-12＜-18.令f(n)=1-,则当n为正奇数时，1＜f(n)≤;当n为正偶数时，≤f(n)＜1,所以f(n)的最大值为f(1)=.于是可得＜20-18=-6.综上所述，存在实数,使得对任意正整数n都有Sn＞-12,的取值范围为（-∞，-6）.选校网www.xuanxiao.com高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl点击打开)选校网www.xuanxiao.com专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库