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1、课题等差数列求和学习内容与过程引入数列中，称为数列的前n项和，记为.与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=知识点1.等差数列的前项和公式（1）证明：①②①+②：∵∴由此得：（2）用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个（3）两个公式的选择：若已知首项及末项用公式较简便；若已知首项及公差d用公式较好；（4）在运用时，注意性质“m+n=p+q(m,n,p,q∈N)”的运用；例18一个
2、等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得=24,－=27，则设等差数列首项为,公差为d,则解之得：∴=3+2（n－1）=2n+1.变式1：已知等差数列的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项；等差数列-16，-12，-8，...，前几项的和为72？变式2：在等差数列中，（1）已知；（2）已知变式3：已知数列的前n项和，求数列的通项公式2.等差数列前n项和的性质（1）在等差数列中，连续m项的
3、和仍组成等差数列，即，,，...仍为等差数列（2）根据，知，当d≠0，是一个常数项为零的二次式因此可设（3）在等差数列中：，...，也成等差数列，公差为若若若项数为2n，则（为中间两项），8若项数为2n-1，则，若数列与均为等差数列，且前n项和分别是，，则（证明：）例2在等差数列中，变式1：已知非常数等差数列{}的前n项和满足(n∈N,m∈R),求数列{}的前n项和.解：由题设知，＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,即＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,∵{}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数
4、项为零的二次式∴≠0且lgm＝0,∴m＝－1,∴＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,则当n=1时，＝当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝，d====数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列，∴数列{}的前n项和为n·()＋n(n－1)·()＝例3涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题，一般宜用性质来求解一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为8,公差为d，则偶数项与奇数项
5、分别都是公差为2d的等差数列，由已知得,解得d＝5.解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.变式1：项数为2n+1的等差数列的奇数项的和与偶数项的和之比为例4涉及两个等差数列前n项和之比问题，一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题，再利用函数思想来解决问题两个等差数列，它们的前n项和之比为,求这两个数列的第九项的比解：.变式：已知等差数列{}、的前n项和分别为和，若，求3.等差数列前n项和公式与二次函数区别联系定义域为
6、图像是一系列孤立的点解析式都是二次式定义域为R图像是一条光滑的抛物线（1）设，利用二次函数的相关性质及图像可求其最值，但并不一定是时，有最大值（或最小值），而是当时，；而当时，n取与最接近的正整数即可（2），即，由二次函数性质可知，时，有最小值；时，有最大值（3），时，有最大值；，时，有最小值；最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则8最值时的值（）可如下确定或例5在等差数列中，，求的最大值变式1在等差数列中，，则取最大时，n=变式2等差数列的前n项和为，公差，若存在正整数m
7、（），使得，则当时，有巩固练习1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于．2．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=．变式：等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3=．3．数列的通项，则其前项和．4．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列B.等差数列C.等差数列且等比数列D.既非等比数列又非等差数列5．等差数列{an}中，S15=90，则a8=()(A)3(B)4(C)6
8、(D)12变式：等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=()(A)45(B)75(C)180(D)3006．数列{an}的前n项和为Sn，若（）（A）12（B）18（C）24（D）42变式：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)1607．在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(A)9(B)10(C)11(D)12变式：等差
