第二类曲面积分方向的判别方法

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1、一类第二类曲面积分侧的确定萧萧落木623摘要：本文针对第二类曲面积分侧的确定这一难点展开讨论，处理的一类题型是当给定曲面的上或下侧时，如何简单地确定积分的前后或者左右侧.文中通过对一般第二类曲面积分的分析，应用法向量以及第一类与第二类曲面积分间联系的理论知识，得出了确定积分侧普遍适用的结论.再对具有特殊结构的曲面和被积函数进行分析，得到了更为简便的结论.关键词：第二类曲面积分；侧；法向量.一、问题的提出与分析1.问题提出.计算第二类曲面积分时，侧的确定是关键因素.题目中一般不会直接给出相对于坐标轴确定的一侧，

2、大多数情况下，仅仅会说明相对于整个曲面而言的侧.例如，积分沿着球面外侧.再如，所求积分的形式为=，沿着曲面的上侧.显然求该积分I，要确定的是相对于轴曲面的前后侧.因此，就需要将给定的上侧转化为曲面的前或后侧.本文所研究的问题是针对以上的第二类情形，简化第二类曲面积分侧的转化过程，从而简化积分I的计算.2.分析问题.(1)研究对象.为了确定曲面的侧，首要的研究对象是曲面；同时，简化侧的确定过程目的就是为了简化积分的计算，这里还要对被积函数进行分析与讨论.(2)与该问题相关的知识及理论.曲面上点的切面的法向量；第

3、一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系.二、定义取正时，表示积分沿着曲面的上侧；取负时，表示积分沿着曲面的下侧.同理，可定义、取正或者负时所代表的意义.三、问题的解决这里仅对问题提出中所论及的情形进行讨论和研究，对于第二类曲面积分的分析与此相同.4以下将对曲面的一般形式和参数方程形式进行分类讨论.1.曲面的方程为.根据第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系，有如下等式：==，={cos}为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，容易得出，cos0.再对该等式变换后，可得=.通过曲面方程知，单位法向量=.当积分沿着

4、曲面取上侧时，则cos=，cos=.因此，=.故=.由定义，.综上，可以得出结论：在、同号的区域内，，积分沿曲面取前侧；在、异号的区域内，，积分沿曲面取后侧.2.曲面的方程为参数方程设曲面的参数方程为，令={cos}为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，cos0.则=.==.若，有=，则=，即时取前侧，时取后侧；若，4有=，则，即时取后侧，时取前侧.综上，可以得出结论：在A、C同号的区域内，积分沿着曲面取前侧；在A、C异号的区域内，积分沿着曲面取后侧.四、特殊条件下的相应结论在问题的解决中所得出的结论比较宽泛，

5、而针对一些有特殊结构特点第二类曲面积分，则可以得出更为有用的结论.1.(1)显然，在曲面内，若、始终同号，则积分沿曲面取前侧；若、始终异号，则积分沿曲面取后侧；(2)曲面满足：在区域内，、同号（异号），在区域内，、异号（同号），若是关于的奇函数，即，则积分始终沿着曲面取前侧.(，.==.所以，.)例1.I=，S为,的上半表面的上侧.试确定I关于y轴的侧.解：，.时，同号；时，异号.且被积函数是关于的奇函数，因此，积分I沿着曲面取右侧.2.(1)显然，在曲面内，若始终同号，则积分沿曲面取前侧；若始终异号，则积分

6、沿曲面取后侧；(2)曲面满足：在区域内，同号（异号），在区内，异号（同号），若是关于的奇函数，即，4则积分始终沿着曲面取前侧.(.=，所以，.)例2.I=，S是球面：，且积分沿着球面前侧.试确定积分上下侧.解：，时，；当.且被积函数z是关于z的奇函数，因此，积分沿着球面取上侧.五、结束语本文对第二类曲面积分侧的确定过程的思路清晰.先分析了所要解决的问题，利用基础理论知识给出了较为一般的结论，再由一般情形过渡到曲面即被积函数具有特殊结构的积分，得到更为方便应用的结论.但是，也有不足.在分析特殊结构的积分时，仅考

7、虑了两种情形，其它情形的结论还有待于进一步挖掘.参考文献：[1].裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京，高等教育出版社，2006；[2].欧阳光中、朱学炎等，数学分析（下册），北京，高等教育出版社，2007.4