几何画板中椭圆的几种构造方法

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1、几何画板中椭圆的几种构造方法温州中学陈晓龙在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为定值2a（2a＞

2、F1F2

3、）的点的轨迹。椭圆的构造方法一：（1）以O为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，在圆内任取一点A；（2）连接PO、PA，作PA的中垂线与PO交于点M，连接MA；（3）将点M定义为“追踪点”，选中点P，让点P在圆上任意转动可得到点M的轨迹为以O，A为焦点长轴长为2a的椭圆。理由：图中的MP=MA，所以OM+MA=OM+MP

4、=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。椭圆的第二定义：设动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线:x＝的距离的比是常数(a>c>0)，则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e＝(0

5、交垂线于N点，过N作L的平行线，交圆F于A，B两点；（4）追踪A，B两点，让P在直线PF上任意移动可得椭圆方程。理由：不管P点在何位置，总可以保证A，B点到F点距离与他们到直线L的距离之比为0.8，所以构造方法二依据的是椭圆的第二定义。椭圆的构造方法三：1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B；3．过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M；4．分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理由：

6、ON

7、＝acosφ,

8、NM

9、

10、＝bsinφ,根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。椭圆的构造方法四：（1）任取线段AB，在AB上取点C，使AC＞CB，分别以AB，BC构造圆O1，圆O2，（圆O2在圆O1内部）；（2）在圆O1上任取一点P，作直线OP，以P为圆心，以CB为半径作圆，交直线OP于M点；（3）连MO2，作线段MO2的中垂线，交MO1于N点，以N为圆心，以NP为半径作圆，得与圆O1内切，与圆O2外切的圆N；（4）追踪N点，让点P在圆O1上任意移动，可得N点轨迹为以O1O2为焦点的椭圆。理由：与两圆同时内切和切的圆的圆心具有如下性质：到两圆圆心

11、距离之和等于两圆半径之和，这样构造椭圆的依据仍然是椭圆的第一定义。椭圆的构造方法五：（1）任取一线段a，在Y轴上任取一点B，以B为圆心，以a为半径作圆交X轴于A点，则AB为长度为a的线段；（2）在线段AB上任取一点C（不为AB中点），追踪C点，让B点在Y轴上任意移动，C点轨迹即为半个椭圆，把线段AB关于Y轴反射一下，则可得另外半个椭圆。理由：C点的横坐标为BCcosθ，C点纵坐标为CAsinθ，由于BC≠CA，所以C点轨迹满足椭圆参数方程。椭圆的构造方法六：（1）定义坐标系；（2）以原点为圆心，任意长度为半径作圆；（3）在圆上任

12、取一点A，并度量其横纵坐标xA，yA。（4）计算yA/3（分母可改为其他不等于1的正数）；（5）绘制点B（xA，yA/3），并追踪点B，让点A在圆上任意移动，可得B点的轨迹为椭圆。理由：可以由圆的方程中把y换成3y，使得圆上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的1/3，把圆“压扁”从而得到椭圆；从方程的角度看，使得x2和y2的系数不一样，从而得到椭圆的方程。