全等三角形中常见的辅助线添加方法

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1、全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。分析：要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。练习：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如

2、图：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF练习：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是BC中点，试比较BE+CF与EF的大小.三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。图3练习：1、已知，如图△ABC中，A

3、B=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2、已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB

4、－PC。练习：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC＝BD，∠CAD=∠CBD，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解

5、决。七、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC

6、和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。十、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边

7、分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；应用：1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）（图2）（图3）2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的