两道骰子问题(数学概率问题)

《两道骰子问题(数学概率问题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、题目一题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。解：（没学过《组合数学》的请略过）设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.写程序求解#includeusingnamespacestd;floatf(floatx){return(1/(1-x)/(

2、1-x)-1-2*x);}intmain(){floatp=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));cout<

3、“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的n个正面？它的答案是2^(n+1)-2。取n=2的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷6次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数比你想象中的要多吧。我们不妨试着来验证一下这一结果。由简单的递推可得，所有1都不相邻的k位01串有Fk+2个，其中Fi表示Fibonacci数列中的第i项。而“抛掷第k次才出现连续两个正面”的意思就是，k位01串的末三位是011，并且前面k-3位中的数字1都不相邻。因此，在所有2^k个k位01串中，只有Fk-1个是

4、满足要求的。因此，我们要求的期望值就等于∑(k=2..∞)k*Fk-1/2^k。这个无穷级数就等于6。我怎么算的呢？我用Mathematica算的。           显然，当n更大的时候，期望值的计算更加复杂。而简单美妙的结论让我们不由得开始思考，这个问题有没有什么可以避免计算的巧妙思路？万万没有想到的是，在赌博问题的研究中，概率论帮了不少大忙；而这一回，该轮到赌博问题反过来立功了。    设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。游戏规则很简单，玩家下注x元钱，赌正面或者反面；然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这x元，如果

5、玩家猜对了他将得到2x元的回报（也就是净赚x元）。    让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有1元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱；如果连续n次硬币都是正面朝上，他将会赢得2^n元钱。这个2^n就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了2^n元钱，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场。让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。    首先，连续n次正面朝上的概

6、率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那n个人。每个人都只花费了1元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。其中，最后进来的人赢回了2元，倒数第二进来的人赢回了4元，倒数第n进来的人则赢得了2^n元（他就是赌场关闭的原因），他们一共赚取了2+4+8+…+2^n=2^(n+1)-2元。其余所有人初始时的1元钱都打了水漂，因为没有人挺过了倒数第n+1轮游戏。    另外，由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说，有多少钱流出了赌场，就该有多少的钱流

7、进赌场。既然赌场的钱最终被赢走了2^(n+1)-2元，因此赌场的期望收入也就是2^(n+1)-2元。而赌场收入的唯一来源是每人1元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是2^(n+1)-2个。换句话说，游戏平均进行了2^(n+1)-2次。再换句话说，平均抛掷2^(n+1)-2次硬币才会出现n连正的情况。数学解法：上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为ShuoChen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，

8、那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系　　T=1+0.5T+0.5(1