考研常用预备知识之集合

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1、一.集合1.集合不加定义的概念。一般地，将某些满足一定性质的事物的全体称为集合，简称集。称其中的任何一个个体为该集合的元素。常用大写字母等表示集合，用小写字母等表示元素。若元素在集合中，则称属于，记为。集合一旦规定了，它的元素就确定了。“所有高个子的全体”这样一个含糊不清的东西是不能作为集合的。2.集合的表示法一般地，集合有两种表示方法：描述法和列举法。描述法，是通过叙述集合元素所满足的特征来表示集合，一般形式是，其中为关于的一个命题。例如，就表示单位圆周。列举法，是通过列举集合的元素来表示集合，一般形式是。例如：就表示自然数集。3.常见数集用表示

2、自然数集，用表示正整数集。用表示整数集。用表示有理数集，用表示正有理数集。用表示实数集，用表示正实数集。用表示复数集。4.有限集，无限集和空集若集合的元素为有限多个，则称其为有限集，否则称为无限集。不含任何元素的集合称为空集，记为。5.集合的包含和相等关系若集合的元素全都属于，则称包含于中，记为。也可以说成4包含，记为。此时，也称为的一个子集。任何一个集合都是自身的子集。空集是任何一个集合的子集。若集合与的元素都相同，则称与相等，记为。当且仅当且。若集合包含于，但不等于，则称真包含于，记为。也可以说成真包含，记为。此时也称为的一个真子集。空集是任何

3、一个非空集合的真子集。6.集合之间的运算和运算规律称属于或属于的元素的全体组成的集合为与的并集，记为，即。称属于且属于的元素的全体组成的集合为与的交集，记为，即。以上定义可推广到任意多个的情形。设为一个指标集，为一族集合。称为这族集合的并集，称为这族集合的交集。称属于但不属于的元素的全体组成的集合为与的差集，记为，即。称不属于的元素全体所组成的集合为的余集，记为，即。根据定义，。以下用文氏图来表示集合的运算。4图1集合之间的运算满足下面几个规律：①吸收律若，则,。②交换律，③结合律，④分配律，它可推广到任意多个的情形。设为一个指标集，为一族集合，则

4、，⑤对偶律(德摩根律),它可推广到任意多个的情形。设为一个指标集，为一族集合，则，7.集合的笛卡尔积设为集合，称为的笛卡尔积，记为。8.区间与邻域(1)区间设都是实数，且。数集称为(有限)开区间，记作，即。其中分别称为开区间的左右端点，这里，。数集称为(有限)闭区间，记作，即4，其中分别称为闭区间的左右端点，这里，。类似地有：(有限)左闭右开区间，其中，，。(有限)左开右闭区间，其中，，。无限区间；;；;各种类型的区间统称为区间。(2)邻域设，称开区间为以为中心，为半径的邻域，简称的邻域，记作，即如果不需要强调邻域的半径，也可以记为。(3)去心邻域

5、设，称为以为中心，为半径的去心邻域，简称的去心邻域，记作，即如果不需要强调去心邻域的半径，也可以记为。4.左，右邻域设，称点的左邻域，为点的右邻域。4