第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题-初二奥数教材

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1、第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题　　对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．　　例1m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0　　有两个不相等的正整数根．　　解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得　　由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4

2、，6，12，　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．　　解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知　　所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，　　只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．　　经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．　　说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解

3、法2就是如此，这些都是最自然的做法．　　例2已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0　　(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．　　分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．　　解因为a≠0，所以　　所以　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．　　例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0　　有有理根，求m的值．　　解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，　　其

4、中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，　　所以(m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以　　　　　　　　说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．　　例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0　　至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．　　解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．　　当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整

5、数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)　　为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，　　　　　　　　要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．　　综上所述，a的值为2，-4，-10．　　说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．　　例5已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0　　的两根都是整数，求a的值．　　解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得　　从上面两式中消去a得x1x2+x1+x

6、2＝6，　　所以(x1＋1)(x2+1)=7，　　　　　　　所以a=x1x2=0或16．　　说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．　　例6求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0　　的所有根是整数．　　分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．　　解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．　　当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，

7、设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则　　消去r得x1x2-x1-x2＝2，　　所以(x1-1)(x2-1)=3．　　　　　　　　　　例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0　　至少有一个整数根，求a的值．　　解将原方程变形为(x＋2)2a=2(x＋6)．　　显然x＋2≠0，于是　　由于a是正整数，所以a≥1，即　　所以x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，