理论力学 陈立群 第7章习题解答

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1、第七章质点动力学习题解答7-1质量为40g的小球M以初速度v=8j(m/s)从点A(0,0,0.3m)抛出后，受到沿i方向恒定的电磁力作用，其大小F=0.8kN，如图所示。求小球M到达xy平面点B时，点B的坐标和小球的速度。解：取小球M为研究对象，小球所受到的主动力为由质点运动微分方程，写出投影式，，初始条件为，；，解得质点的速度方程为，，质点的运动方程为，，当时，小球到达xy平面，由解得，于是小球到达xy平面时的各速度分量为，，.各坐标为题7-2图，，.7-2图示A，B两物体的质量分别为mA和mB，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r。运动开始时，两物体的高度

2、差为h，且mA>mB，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。题7-2受力图解：分别取A和B物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程，，式中，，根据题意，有，，初始条件，，，.解以上初值问题，得7，，令，即解得当两物体达到相同高度时.7-3质量为m的质点M受到引力F=-k2mr的作用，其中k为常量，运动开始时，质点M在轴x上，OM0=b，初速度v0与轴x的夹角为b，如图所示。试求质点M的运动方程。bv0M0FMrOixy题7-3图解：取质点M为对象，列出质点运动微分方程：，投影式为，初始条件：，；，.解上述初值问题，得质点M的运动方程，.题7-4图

3、题7-2受力图7-4图示套管A的质量为m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离为l的滑轮B而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x之间的关系。解：取套管A为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析.将对时间求导，得解出，再对时间求导，并将上式代入，得mg.在铅锤方向列出动力学方程7其中，于是绳子的拉力与距离x之间的关系为.7-5铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r=10000m，q=60°，，且时，火箭的质量为5000kg。求此时的喷射反推力F。题7-5图解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示

4、，，，将上式对时间求导后，解得火箭的速度再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度在方向列写动力学方程，，喷射反推力F为将数据代入，求得此时的喷射反推力.7-6质量皆为m的两物块A，B以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。当自由释放时，求此瞬时杆AB所受的力。题7-6图解：1）取物块A为研究对象，AB杆为二力杆，受力图如图示，列出动力学方程，（a）2）取物块B为研究对象，，(b)3）运动学分析对时间求二次导数，得；题7-6受力图在初瞬时，，初加速度为，(c)由（a）、(b)、(c)三式解得据题意，，初瞬时，杆AB所受的力为7.题7-7图7-7质量为m的小

5、球以水平速度v0射入静水之中。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，且与速度的大小成正比，即F=-mv，m为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。解：取小球为研究对象，列出动力学方程，投影式为，初始条件：，.解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为，.题7-8图7-8滑块M的质量为m，在半径为R的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑块M上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O固定于A。已知当滑块在点O时，绳的张力为零。弹性绳每伸长1(cm)需力c(N)。开始时滑块在圆环的顶端点B，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下，

6、j为绳的OM部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块M的下滑速度v与j角的关系以及圆环的约束力。解：取滑块M为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程，，（a）,(b)式中，，.初始条件为滑块受力图，.解此初值问题.关系利用，积分式（a），，得滑块M的下滑速度v与j角的关系，（与方向相反）.从（b）式解得圆环的约束力7.习题7-97-9作用有简谐激振力F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m=350kg，弹簧的刚度为k=20kN/m，简谐激振力振幅的大小H=100N，激振频率f=2.5Hz,阻尼元件的阻尼系数c=1600N·s/m，试求系统受迫

7、振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。解：选取平衡位置为坐标原点，轴垂直向下，为单位向量，弹性恢复力，粘性阻尼力，简谐激振力质点运动微分方程的为化作标准形式其中，，，，振幅为受迫振动相位滞后激振力相位角的正切为质点受力图代入数据，得,.受迫振动的方程为7-10质量为m的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为l。求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。解：以质量为m的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为，受力图如图示，