勾股定理经典例题(含答案)

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1、经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。解析:(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=

2、AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB=4∴AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用2、如图,已知:在中,,,.求:BC的长.思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析:作于D,则因,∴(的两个锐角互余)∴(在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,11.∴.举一反三【变式1】如图,已知:,,于P.求证:.解析:连结BM,根据勾股定理,在中,.而在

3、中,则根据勾股定理有.∴又∵(已知),∴.在中,根据勾股定理有,∴.【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析:延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。∴S四边形ABCD=S

4、△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三:勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。11(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。解析:(1)过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得:BC=500m,AB=由勾股定理可得:所以(2)在Rt△ABC中,∵BC=500m,AC=1000m∴∠CAB=30°∵

5、∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.解:OC=1米(大门宽度一半),OD=0.8米(卡车宽度一半)在Rt△OCD中,由勾股定理得:CD===0.6米,CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.11(二)用勾股定理求最短问题4

6、、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3图(3)中,在Rt△ABC中同理∴图(3)中的路线长为图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH由∠FBH=

7、及勾股定理得:EA=ED=FB=FC=∴EF=1-2FH=1-∴此图中总线路的长为4EA+EF=3>2.828>2.732∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.11解:如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得(提问:勾股定理)∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理

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