o0010,向量共线定理的几个推论及其应用

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1、向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量与非零向量共线有且仅有一个实数，使=。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量与向量共线存在不全为0的实数，使，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数，使。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中均不为零向量，而推论（一）中，向量可能含。推论三:设O、A、B三点不共线，且，（x，y∈R），则P、A

2、、B三点共线x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。推论四:设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数使且=0证：①当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；②当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得，此时，s≠-t，否则，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：，即：。显然s+t+[-(s+t)]=0令,故得证。推论五：设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数，使且则=0。推论五实质是推论四的逆否命题。推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数，使得，BN1N

3、P1AM1MOP且。证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然5，，。其中显然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：推论七：已知平面内不共线向量，且。分别记过点A且与BC平行的直线为，直线BC，AB，AC分别为.则：P点在直线上；P点在直线不含A点一侧；P点在直线与之间；P点在直线上；P点在直线不含直线一侧；P点在直线不含C点一例；P点在直线含C点一侧；P点在直线不含B点一侧

4、，P点在直线含B点一侧。l3l4l2l1P3④⑤③②⑥AP1⑧①⑦⑨BCP2证：设直线AP与直线BC相交于点，则设，则故P若在直线BC上，则,又∵共线，则,故：,则,∵AB、AC不共线，则.∴（1）若P在①区域内，则01，则，，且;（3）若P在③区域内，则k<0，，且;（4）若P在④区域内，则k<0，，且;5（5）若P在⑤区域内，则k<0，，且;（6）若P在⑥区域内，则01，则，;（8）若P在⑧区域内，则k>1，则，;（9）若P在⑨区域内，则k>1，则，.综上：当P点位于

5、上方，;当P点位于下方上方，;当P点位于下方;当P点位于左边，，右边，;当P点位于左边，，右边从而得证。注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。二、应用举例AMBCND例1如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上。BN=，求证：M、N、C三点共线。证：设，，（与不共线），则.∵N为BD的三等分点，∴,而,∴,∵，且m+n=1，且B、M、C三点不共线，则点M、N、C三点共线。BCDEFAPMN例2设M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且，若B、M、N三点共线，求的值。分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f

6、()=0就隐含在直线方程的向量形式中。解：延长EA，CB交于点P，设正六边形的边长为1,易知ΔECP为RtΔ，AE=AP=AC=，PB=2,A是EP之中点，,∴,又∵，∴；∴；∵B、M、N三点共线.由推论（三）知，即为所求5例3（06年江西高考题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=A．100B．101C．200D．201解：易知a1+a200=1,∴,故选A。例4（06年湖南高考题）如图OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对（x，y）可能的取值是A．B．C．D．AOMPQ

7、B解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论我们不难判定中的线性组合系数对（x，y）应满足00。从而应选C。AQPCBLR例5（梅涅劳斯定理）若直线l不经过ΔABC的顶点，并且与ΔABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则=1证：如图，设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB，所成的比分别为，则，又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点，所以，因而只需证明。任取一点O，则由定比分点