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时间：2024-08-29
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线性代数课程结构简图未知数个数与方程个数相等行列式矩阵线性代数方程组未知数个数与方程个数不等向量空间1 第四章线性方程组第一节高斯消元法第二节n维向量空间第三节向量组的线性相关性第四节向量组的秩第五节线性方程组解的结构2 解集合：解的全体第一节高斯消元法方程组最一般的表达形式：3解方程组：求出解集合 4 5 6 两个方程组同解：方程组有相同解集合相容方程组：方程组有解，或者说解集合不为空集不相容方程组：方程组无解，或者说解集合为空集一些基本概念问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？7 方程组的初等变换：高斯消元法（1）互换两个方程的位置（2）用一个非零数乘某个方程的两边（3）将一个方程的两边同乘以某常数加到另一个方程对线性方程组施行初等变换后，新方程组与原方程组同解。性质例题：见课本P87页例题1.1,1.2,1.38 系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵方程组的矩阵表达形式：9 增广矩阵方程组Ax=b与增广矩阵存在一一对应关系：这是线性代数中最基本的一次抽象，将方程组与增广矩阵一一对应起来，从而对方程组的研究转化为对矩阵的研究（行列式，秩，初等变换等）。10 一一对应11 从课本例题介绍的消元法我们知道，消元法实质上是利用一系列方程组的初等变换将其变成同解的阶梯形方程组.因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯矩阵的过程.12 线性方程组解法讨论方程组的初等变换对应于增广矩阵的初等行变换增广矩阵初等行变换阶梯型矩阵由增广矩阵经过一系列初等行变换得到的阶梯型矩阵，它对应的方程组与原先的方程组同解。定理13 与方程组求解过程比较，所有的增广矩阵均可化为如下形式的阶梯矩阵阶梯型矩阵中可能有全为零的行，对应的均为多余的方程14 阶梯型矩阵对应于一个新的方程组方程组有解15 我们得到方程组解的一般表达式（通解）：16 通解为17 18 本节主要定理：线性方程组解的情形19齐次线性方程组解的情形（b=0） 20推论1：当A为n阶方阵时，齐次线性方程组只有零解当且仅当det(A)不为零；有非零解当且仅当det(A)等于零。推论2：当A的行数小于列数(即方程组中方程的个数小于未知数的个数)时，齐次线性方程组一定有非零解。因为 例题解21 22 考虑:1.有无解2.有解(唯一解还是无穷多解)讨论:23 最后的阶梯型矩阵对应的线性方程组为其通解为24 方法2：由本题的特点，方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,然后利用克莱姆法则25 26 本周作业：自习课本例题1.1—例题1.5，准确表达方程组的通解习题四P1101(1)，3，5，6，20(2)27
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