控制工程基础 第10章 计算机控制系统

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控制工程基础（第十章）清华大学 10.1计算机控制系统的组成10.2线性离散系统的数学模型和分析方法10.3离散状态空间模型10.4线性离散系统的稳定性分析10.5计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统 利用计算机代替常规的模拟控制器，使它成为控制系统的一个组成部分，这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控制系统。计算机控制系统是以自动控制理论与计算机技术为基础的，目前控制系统都在向基于计算机控制的方向发展。计算机控制系统的控制规律是由计算机来实现的，它可以实现常规控制方法难以实现的更为复杂的控制规律，可以避免模拟电路实现的许多困难。 一、计算机控制系统的组成计算机控制发展过程计算机控制系统组成图计算机内信号的处理和传递过程计算机控制理论 ▲计算机控制发展过程开创期1955年直接数字控制期1962年小型计算机控制期1967年微型计算机控制期1972年数字控制普遍应用期1980年集散型控制期1990年 计算机控制系统的分类按功能分：操作指导控制系统，监督控制系统，直接数字控制系统(DDC)等。按控制规律分：程序控制，数字PID控制，有限拍控制，极点配置控制，复杂规律控制等。按结构形式分：集中型计算机控制系统，分散型（或分布式）计算机控制系统等。按控制方式分：开环控制，闭环控制 ▲计算机控制系统的组成图 采样时刻：把实测信号转换成数字形式的时刻。采样周期：两次相邻采样之间的时间，记作。最常用的是周期性采样。表示参考输入信号（给定信号）表示系统的反馈信号表示偏差信号表示控制信号 被控对象被控对象是指所要控制的设备，实际对象可能是这几种基本环节的串联。 执行器执行器是向控制对象提供运动力的装置，是控制系统中的重要部件。 测量环节测量环节通常由传感器和测量电路组成，它通常将被控对象的参数转换为电的信号。 ▲计算机内信号的处理和传递过程数字调节器是以计算机为核心，加上采样保持器、模-数转换器、数-模转换器及保持器组成的。其硬件结构及信息传递过程如下图所示。 采样：指每隔一定的时间间隔把连续信号抽样成采样信号的过程。理想采样器：理想采样器是一种数学抽象。 采样示意图 乃奎斯特证明，要把正弦信号从它的采样值中复现出来，每周期至少必须采样两次。香农（Shannon）于1949年在他的重要论文中完全解决了这个问题。这就是著名的采样定理。香农（C.Shannon）1916~2001,MIT教授，被誉为信息论之父。 香农采样定理：如果连续信号的傅里叶变换在以外为零，则当采样角频率大于时，此信号完全可由其等周期采样点上的值所唯一确定。这时应用插值公式乃奎斯特频率式中， 设连续信号的频率特性为，则采样信号的频率特性为 模-数转换器（量化过程）将离散的模拟信号转换成时间和幅值均离散的数字量。转换的精度取决于模-数转换器的位数。量化单位量化误差 数字调节器（运算过程）数字调节器的控制规律由计算机程序实现。控制律可用下式描述由控制算法决定，是计算机按照一定的控制规律计算出的控制信号。 数-模转换器（）将数字量转换成离散模拟信号 保持：把离散模拟信号转变成模拟信号的过程。保持器：实现保持作用的电路。保持器起外推器的作用，根据过去时刻的离散值，外推出采样点之间的数值。零阶保持器(ZeroOrderHolder，缩写为ZOH)：把时刻的信号一直保持到时刻前的瞬间，其外推公式为 零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的传递函数零阶保持器的频率特性零阶保持器的幅频特性和相频特性零阶保持器具有低通特性和相角滞后特性。 ▲计算机控制理论 计算机控制系统（离散系统）理论与设计系统辨识面向计算机的数学模型（离散时间系统描述）输入输出模型状态空间模型线性常系数差分方程脉冲传递函数迭代法古典法变换法定义连续系统的离散化系统的脉冲传递函数定义连续时间状态空间模型离散化离散时间系统分析Z变换稳定性能控性能观性计算机控制设计方法模拟化设计方法基于输入输出模型的设计方法最少拍控制极点配置方法最小方差控制基于状态空间模型的设计方法极点配置方法最优滤波最优控制自适应控制仿真、调整、实现 计算机控制系统中包含有数字环节，即是典型的数字控制系统，对时变非线性的数字环节进行严格的分析十分困难。若忽略数字信号的量化效应，则计算机控制系统可看成是采样控制系统。建立一种表达法来研究采样控制系统。首先把执行器、被控对象用传递函数来表示，A/D转换器表示成一个理想的采样器，D/A转换器表示为一个采样器后接零阶保持器的理想采样保持电路，计算机则表示成一个能把一种冲激调制信号变换成另一种冲激调制信号的系统，计算机中实现的算法用表示。 采样控制系统中既包含连续信号，也包含采样信号，不同的信号混合在一起，有时分析起来会比较麻烦，在大多数情况下，只描述系统在采样瞬间的状态就足够了。这时感兴趣的仅仅是离散时间上的信号。在采样控制系统中，如果将其中的连续环节离散化，则整个系统便成为纯粹的离散时间系统。 离散时间系统：若系统的输入和输出都是离散时间信号，则称此系统为离散时间系统。离散系统理论主要指对离散时间系统进行建模、分析、设计、仿真、实现的各种方法研究。包括：差分方程，Z变换理论，离散系统性能及稳定性分析，系统设计方法等。 二、线性离散系统的数学模型和分析方法线性离散系统的数学描述线性差分方程的解法z变换脉冲传递函数 ▲线性离散系统的数学模型对于单输入单输出的线性离散系统，其输入输出关系可以用线性常系数差分方程描述(为书写方便，省略周期)所谓线性离散系统，即表征离散系统特性的差分方程满足叠加原理。差分方程中最高和最低指数之差称为差分方程的阶数。 差分方程可写成以下紧缩算子形式。其中是引入的后移算子 齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数均为零。表征线性离散系统在没有外界作用的情况下系统的自由运动，反映了系统本身的固有特性。非齐次差分方程：差分方程右端各阶差分项的系数不全为零，即包含输入作用。 ▲线性差分方程的解法1．迭代法迭代法是指如果已知差分方程和输入序列，并且给出输出序列的初始值，就可以利用差分方程的迭代关系逐步计算出所需要的输出序列。迭代法的优点是便于计算机运算，缺点是不能得到数学解析式。 例已知差分方程输入序列为，初始条件为，试用迭代法求解差分方程。解：逐步以代入差分方程，则有，，，，利用迭代法可以得到任意时刻的输出序列。，，， 2．古典法差分方程的古典解法步骤可归纳为：(1)求齐次差分方程的通解；(2)求非齐次差分方程的一个特解；(3)差分方程的全解为；(4)利用n个已知的初始条件或用迭代法求出的初始条件确定通解中的n个待定系数。 设齐次方程为•如果特征根各不相同（无重根），则差分方程的通解为式中，（）为待定系数，是特征方程的根，由的n个初始条件确定。 •重根的情况下，通解的形式将有所不同。假设是特征方程的l重根，那么在通解中相应于的部分将有l项，即 •有个重根，其余的不是重根，即则通解为其中，为待定系数。 综上所述，如果假设n阶差分方程的特征方程具有r个不同的根，的阶数为（=1时为单根），，则差分方程的通解为式中，（，）为待定系数，由的n个初始条件确定。 特解用试探法求出，与几种典型输入信号对应的特解形式如下表输入信号输出响应的特解不是差分方程的特征根是差分方程的特征根之一相异根次重根 例考虑二阶差分方程求解差分方程。解：特征方程为其特征根为和。这时，齐次方程的通解为 设差分方程特解为，代入差分方程试探得求出B=1/2差分方程的全解为代入初始条件，得求出A1=1/2和A2=-1。因而非齐次差分方程的全解为 例考虑三阶差分方程初始条件为，，，求解差分方程。解：特征方程为其特征根为（二重根）和。这时，，，。齐次方程的通解为 该差分方程是一个齐次方程，因此齐次方程的通解也是差分方程的全解代入初始条件，得求出，和。因而差分方程的全解为 3．变换法与微分方程的古典解法类似，差分方程的古典解法也比较麻烦。在连续系统中引入拉氏变换以后使得求解复杂的微积分问题变成了简单的代数运算。在求解差分方程时，同样可以采用变换法，引入Z变换后，使得求解差分方程变得十分简便。 ▲z变换类似拉氏变换理论成功地应用于连续时间系统中，霍尔维兹于1947年引进了z变换，这种变换由拉格兹尼和扎德（Zadeh）于1952年命名。 在线性离散系统中，可以对采样信号作拉氏变换，采样信号表达式为令，则称为的离散拉氏变换或z变换。一般称为离散序列的z变换。 （1）单位脉冲序列则 （2）单位阶跃时间序列 （3）衰减指数序列 （4）指数序列当T=1时，有 ●z变换的性质(1)线性性质z变换是一种线性变换，即 (2)平移定理设时，，滞后定理：超前定理： (3)象函数尺度变化(4)初值定理(5)终值定理(6)卷积 一些典型时间序列的Z变换可以由查表得到。(2)由Z变换定义、性质和定理可以很方便地求出复杂函数的Z变换。 ●连续函数的离散化（z变换与拉氏变换的关系）已知连续函数的拉氏变换，求其相应离散（采样）序列的z变换。 1、部分分式法如果已知某函数的拉式变换，先把它分解为一些基本的部分分式然后再分别求出其相应的原函数。对离散化得，对求z变换。由z变换的线性性质可得 例对采样得因此 2、留数计算法由复变函数中留数定理可知，函数除有限个极点外，在某域内是解析的，则Res[.]表示函数在极点的留数。留数的计算方法因是否有重极点而异。 无重极点时，即所有极点相同时，即 例 例 例已知某连续信号的拉氏变换为用留数法求相应采样序列的Z变换Y(z)。解：Y(s)包含一个二阶极点s1=0和s2=-a,则 ●z反变换(1)幂级数展开法（长除法）把展开为的负幂级数，即把它展开为的幂级数，的系数相应于在第个采样时刻的时间函数的值。 例则 (2)部分分式法设是的有理分式，当其实根是互不相同的情形时，利用部分分式法求z反变换的步骤为：①展开其中②把展开式乘以③反演展开式得 例 留数计算法由留数定理可得其中是的个极点。留数的计算方法随是否有重极点而异。 如果在处有阶极点，则如果在处只有一阶极点，则如果具有个不同的极点每个的阶数为（时为单极点），则 例 例 ●用z变换求解差分方程利用z变换中的滞后和超前定理，以及已知函数的z变换，可以求线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以z为变量的代数运算问题。考虑差分方程对差分方程两边作z变换 由超前定理得 例用z变换求解差分方程解：对差分方程两边求z变换 ▲脉冲传递函数●定义在初始静止的条件下，线性时不变离散系统的脉冲传递函数是其输出脉冲序列的z变换和输入脉冲序列的z变换之比，即对用如下线性常系数差分方程所代表的离散系统 当考虑初始条件为零时，可得系统的特征方程为系统的极点数目表示系统的阶数。脉冲传递函数反映了系统的物理特性，取决于描述线性离散系统的差分方程。 例求线性离散系统的脉冲传递函数。解： 在连续系统中，系统的传递函数等于单位脉冲响应函数的拉氏变换。与连续系统类似，对于离散系统，系统的脉冲传递函数等于单位冲激响应的z变换。系统的脉冲传递函数和单位冲激响应为一z变换对。 ●连续系统的离散化冲激不变法基本思路：是让G(s)和G(z)所代表的系统在采样点具有相同的单位脉冲响应。单位冲激响应为对采样得，取z变换 连续系统离散化图示： 常用求解方法：(1)部分分式法如果已知某系统的传递函数，先把它分解为一些基本的部分分式，然后再分别求出其相应的原函数。对离散化得，对求z变换。由z变换的线性性质可得 例对采样，得因此 (2)留数计算法由复变函数中留数定理可知，函数除有限个极点外，在某域内是解析的，则Res[.]表示函数在极点的留数。留数的计算方法因是否有重极点而异。 无重极点时，即所有极点相同时，即 例 例 2.带零阶保持器的离散化方法带零阶保持器的离散化方法示意图这就是控制信号经D/A变换器转换成模拟量控制被控对象的情形。 设系统的输入为单位阶跃时间序列则经过零阶保持器后 对采样得，并取z变换由于系统输入为单位阶跃时间序列，其z变换为因此 可以归纳出计算脉冲传递函数的步骤为：1）求出时间函数2）求z变换3)乘得 带零阶保持器的离散化方法也可看作是用冲激不变法离散化传递函数为的广义对象（带有零阶保持器的对象称为广义对象），即称为广义对象的脉冲传递函数，一般记为 例 ●系统的脉冲传递函数实际系统常常由一些子系统组成，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系形式有三种：串联、并联和反馈。首先介绍一些写法。 1.串联系统的脉冲传递函数 2.并联系统的脉冲传递函数 3.反馈系统由上图可得 推导步骤：1）在主通道上建立输出与中间变量的关系；2）在闭环回路中建立中间变量与输入的关系；3）消去中间变量，建立输出与输入的关系。 线性离散系统的闭环传递函数或输出量的z变换具有以下特点：1）分子部分与主通道上的各个环节有关；2）分母部分与闭环回路中的各个环节有关；3）采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数形式不同，而且会有不能写出闭环脉冲传递函数的情况，只能写出输出的Z变换表达式。 •利用脉冲传递函数分析离散系统的瞬态响应（过渡过程）与连续系统的时域瞬态响应分析类似，可以用脉冲传递函数来分析离散系统的瞬态响应。当线性离散系统的结构和参数已知时，可求出对应的脉冲传递函数，在输入信号给定的情况下，可以得到输出量的z变换。经z反变换，就可得系统输出的时间序列。根据瞬态响应曲线，可分析系统的动态特性如超调量、过渡时间等；也可以分析系统的稳态特性，如静态误差。 三、离散状态空间模型▲连续状态空间模型 三、离散状态空间模型▲线性离散系统的状态空间模型其中，、和分别代表维状态变量、维输入变量和维输出向量；：维的状态矩阵（系统矩阵）：维的输入矩阵（驱动矩阵）：维的输出矩阵：维的传输矩阵（直传矩阵） 线性离散系统的状态变量图 可看成连续系统经过零阶保持器离散化 ▲离散状态方程的时域解：称为线性离散系统的状态转移矩阵。z域解：状态转移矩阵计算公式： ▲系统的脉冲传递函数矩阵对离散状态空间模型取z变换，得到离散状态模型的z域解：状态转移矩阵计算公式：系统的脉冲传递函数矩阵：离散系统的z特征方程： 说明：1）状态变量表征系统本身的特征，状态变量的选取不是唯一的。2）状态变量的个数等于系统的阶数。3）尽管系统的状态变量的选择不唯一，但系统的z特征方程是不变的。 例设离散系统的状态空间表达式为初始条件为零，求线性离散系统的脉冲传递函数矩阵及单位阶跃输入时的输出响应解： 单位输入时， 对上式作z反变换得 四、线性离散系统的稳定性分析s平面与z平面的映射关系线性离散系统的稳定性条件线性离散系统的稳定性代数判据 ▲s平面与z平面的映射关系s平面z平面极点：极点：虚轴：单位圆上：右半平面：单位圆外：左半平面：单位圆内： s平面与z平面之间的映射关系是“多对一”的关系，即在s左半平面上每个宽的带子都映射到z平面上同一单位圆内。设则 ▲线性离散系统的稳定性条件线性离散系统稳定的充要条件是特征方程的全部根或闭环z传递函数的全部极点都分布在z平面上以原点为圆心的单位圆内。说明：设闭环脉冲传递函数为 设特征根为，欲使系统稳定，其充要条件是全部特征根都在s平面的左半平面。根据s-z平面的映射关系，设s平面上左半平面的映射到z平面上为。则是特征方程的根。稳定系统的特征根必然分布在z平面上以原点为圆心的单位园内。 例：设线性离散系统的z特征方程为试判断系统的稳定性。解：由z特征方程可求得特征根由于特征根全部位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，所以系统稳定。 例判断如下图所示系统的稳定性。 解：则特征方程为1+G(z)=0即解得＞1，故系统不稳定。 ▲利用劳斯判据判系统稳定性对于较高阶次的离散系统，也可通过变换，利用劳斯判据判其稳定性。设双线性变换式中，z=x＋jyr=u+jv 其实部为可见，当＜1，即时，u＜0当>1，即时，u＞0当=1，即时，u=0 例某离散系统的闭环特征方程为试判其稳定性。解：将代入特征方程，得即特征式系数不同号，容易根据劳斯判据，判出该系统不稳定。 ▲线性离散系统稳定性的代数判据与连续时间系统的劳斯-霍尔维兹判据（Routh-Hurwitzcriterion）类似，离散系统有舒尔-科恩（Schur-Cohn）稳定性判据，和朱理（Jury）稳定性判据。 如果已知一个系统的特征多项式朱理（Jury）把它的系数排列成如下的算表：----------------------------------------------- ----------------------------------------------------其中， Jury稳定性判据：如果，方程的根全在单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的第一个元素都是正数。如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表方程中含有在单位圆以外根的个数。 例已知特征方程为写出Jury算表为 如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足：即 系数和使此二阶系统稳定的区间如下图所示。 舒尔-科恩（Schur一Cohn）稳定判据采样控制系统的特征方程是首先把系数写成行列式的形式式中，是的共轭值，组成2k×2k行列式。 舒尔一科恩判据指出，如果满足下面的条件，特征方程所有的根都在单位圆内：<0如果k是奇数>0如果k是偶数k=1时，是一个2×2的行列式 k=2时，是4×4的行列式k=3时，是6×6的行列式 例解：特征方程<0,>0，故系统是稳定的。 如果P(z)是实系数的2次多项式，且项系数是1，则舒尔一科恩判据可以简化，特征方程的根全部在z平面的单位圆内的充要条件为：舒尔-科恩稳定判据及朱理稳定性判据，适用于实系数或复系数的多项式方程。当多项式方程只含有实系数时，朱理判据所需要的计算，比舒尔-科恩判据中需要的计算要简单。 五、线性离散系统的性能分析线性离散系统极点的影响线性离散系统的误差特性分析 ▲线性离散系统极点的影响 线性离散系统的动态特性取决于闭环脉冲函数极点在z平面上分布的情况。上图表示出系统极点位置与单位脉冲响应的关系：1）当极点分布在单位圆上或单位圆外时，对应的单位脉冲响应是等幅或发散的序列，系统不稳定。2）当极点分布在单位圆内时，对应的单位脉冲响应是衰减序列，而且极点越接近原点，输出衰减越快，系统的响应时间越快。反之，极点越接近于单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。 3）当极点分布在单位圆内左半平面时，虽然单位脉冲响应是衰减的，但是由于交替变号，过渡特性不好。因此设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在z平面上右半圆内，而且尽量靠近原点。 ▲线性离散系统的误差特性分析设离散化后的前向通道脉冲传递函数为误差脉冲传递函数为所以在系统稳定前提下，利用Z变换终值定理就可以分析系统在各种输入条件下的稳态误差。 单位阶跃输入时，，则稳态误差为式中，称为静态位置误差系数，它可以由开环脉冲传递函数直接求得。当中具有一个以上z=1的极点时，，系统的位置误差为零。 单位速度输入时，，则稳态误差为称为静态速度误差系数。当中具有两个以上z=1的极点时，，速度误差为零。 单位加速度输入时，，则稳态误差为称为静态加速度误差系数。如果中具有三个以上z=1的极点时，，系统的加速度误差为零。 对于离散系统，将开环脉冲传递函数中含有z=1的极点数用v来表示，把v=0,1,2,…的系统分别称为0型,I型,II型,…系统。显然，，，。以上分析说明开环系统中如有m个积分器，当闭环系统是渐近稳定的，输入信号的阶数时，系统的稳态误差为零。 不同输入时各类系统的稳态误差————————————————-————误差类型0型I型II型III型————————————————————稳态位置误差000稳态速度误差∞00稳态加速度误差∞∞0 干扰作用下的系统（a）参考输入与干扰作用下的系统；（b）干扰输入单独作用下的系统 因此，增益D（z）越大，则误差E（z）越小。如果D（z）中含有积分器，即D（z）有一个z=1的极点，则在系统稳定的前提下由恒定干扰产生的稳态误差为零。如果一个线性系统受到参考输入和干扰输入两者的作用，则系统的总误差是这两个输入作用产生的误差之和。如果输入的频率域与干扰输入的频率域分离得足够大，在系统中可以插入合适的滤波器以减小误差。 六、计算机控制系统的模拟化设计方法计算机控制系统的设计方法数字校正环节的近似设计方法数字PID控制器 理想的离散控制系统，就是通过设计数字控制器，设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法，使系统性能达到最佳，所谓最佳是以某一性能指标作为评价。一般控制技术包括数字控制器的连续化设计技术和离散化设计技术；复杂控制技术包括前馈——反馈复合控制、解耦控制、模糊控制等。 ▲计算机控制系统的设计方法*模拟化设计方法离散化设计方法（最少拍设计方法）基于输入输出模型的极点配置法基于状态空间模型的极点配置法最优设计方法 ●计算机控制系统的模拟化设计方法 模拟化设计的理论基础：可证明当系统通频带比采样角频率低很多时，可以忽略零阶保持器的影响。因此，典型的计算机控制系统，尽管是一个离散系统，但只要选择足够高的采样频率，离散的计算机控制系统可以近似看成连续系统。把计算机控制系统近似看成连续系统，计算机控制系统的设计就可以按照连续系统的设计方法，求出连续校正环节的传递函数后，对其离散化，由计算机实现数字调节规律。 ▲数字校正装置的近似设计方法该方法是指利用连续控制系统设计方法已求得校正环节后，再用一些近似的方法把离散化而得到，便可以写出控制算法。如果把看成模拟的滤波器，则这种方法可以叫做模拟滤波器的离散化方法。近似设计方法包括冲激不变法，带零阶保持器的离散化方法，前向差分法，后向差分法，双线性变换法等。 离散化的方法:1.冲激不变法这种方法就是直接的z变换方法。其优点在于和的脉冲响应是一样的，而且如果是稳定的，则也是稳定的，但D(z)的频率响应可能与D(s)的不同。 例已知则控制算法为 2.零阶保持器法例已知则控制算法为 3.前向差分法（或称欧拉法）这种方法是一种近似的微分方法，取依据是：用前向差分代替微分，再把它用差分算子q表示，于是就有p=(q-1)/T。在上述变量转换中，相应于用(z-1)/T代替s。 如果直接用Z变换和S变换之间的关系，也可以近似的结论。因为则这种近似方法十分简便，但是不能保证D(z)总是稳定的，而且不能保证具有与D(s)相同的脉冲响应和频率响应。 例已知，试用前向差分近似方法离散化D(s)。解：其中可能大于1。 4.后向差分法这也是一种近似的微分方法，它取依据为：于是就得到d=(q-1)/qT，相应于用(z-1)/zT代替s。当D(s)稳定时，反向差分法能保证D(z)也是稳定的，但不能保证D(s)和D(z)具有相同的脉冲响应和频率响应。 5.双线性变换法上式称为双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似。由上式可得故取 亦可按以下理解：把函数x(t)的积分y(t)记为并用x(kT-T)到x(kT)曲线下面积代替y(kT)-y(kT-T)。 写成算子形式，得即用双线性变换后，D(z)和D(s)的脉冲响应和频率响应可能不一样，但稳定性是一致的。 ●采样周期的选择香农采样定理给出了理想情况下的规则，采样周期的选择与许多因素有关。当用零阶保持电路后，保持电路会引起相移。保持器可以被近似为具有半个采样周期时延的环节。如果相位裕量允许减少5°~15°，就可以给出下面的经验法则：其中是连续系统的开环剪切频率。一般Nyquist频率取剪切频率的5~20倍，典型数据为 ●对数频率特性法校正这种方法是基于连续系统的对数频率特性，首先做出系统的固有对数频率特性，再根据性能指标的要求，画出希望的对数频率特性，校正网络的对数频率特性曲线为，有了便可得到相应的校正网络的传递函数，对离散化便可得到，由计算机予以实现。 例计算机控制系统如下图所示，采样周期秒，要求速度误差系数；剪切频率，谐振峰值，试设计串联校正装置。解：由控制理论得知，闭环系统的通频带 所以这样可以忽略零阶保持器的影响，可以用连续系统的设计方法设计计算机控制系统。根据速度误差系数的要求，为了留有裕量，取，确定了处的幅值对象的传递函数则为由此便可做出固有对数频率特性 根据性能指标，可以得到希望对数频率特性，进而得到校正网络的传递函数为得到了连续校正环节以后，可将其离散化，得到校正环节的脉冲传递函数。 ▲数字PID控制器在连续控制系统中，比例－积分－微分（PID）控制器得到广泛的应用，它既能使系统的稳态误差为零，又能改善系统的动态性能。连续系统PID控制器的时域表达式为则其传递函数为 称为比例系数，称为积分系数称为微分系数。PID调节器方块图为： 用不同的近似方法，可以得到不同的数字PID的算法。最简单的方法是用求和代替积分，用后向差分代替微分，则有数字PID调节器的脉冲传递函数为 称为比例系数，称为积分系数称为微分系数。数字调节器方块图 1.比例控制对系统性能的影响1）对动态特性的影响比例控制加大，会使系统的响应速度加快；但偏大时，振荡次数加多，调节时间加长；当太大时，系统会趋于不稳定；太小，又会使系统的响应缓慢。2）对稳态特性的影响加大比例控制，在系统稳定的情况下，可以减小稳态误差，提高系统控制精度，但是加大只是减小却不能完全消除稳态误差。 2.积分控制对系统性能的影响1）对动态特性的影响积分控制通常使系统的稳定性下降。太小将使系统不稳定；偏小时，振荡次数加多，调节时间加长；太大时，对系统影响较小。2）对稳态特性的影响积分控制能消除稳态误差，提高系统的控制精度。只要存在偏差，它的积分所产生的信号总是用来消除误差的，直到偏差为零，积分作用才停止。 微分控制对系统性能的影响微分控制作用实质上与偏差的变化速度有关，也就是微分控制作用与偏差的变化率有关，微分控制能够预测偏差，产生超前的校正作用，因此微分控制可以较好地改善系统的稳定性和快速性。 增量型算法（递推控制算法）的数字PID控制器的差分方程为据此就可以用数字计算机来实现PID控制器。显然将增益或设置为0，就得到了P、PI或PD控制器。 增量型算法与位置型算法相比，有以下优点：（1）增量型算法不需要做累加，控制量增量的确定仅与最近几次误差采样值有关，计算误差或计算精度问题，对控制量的计算影响较小。而位置型算法要用到过去的误差的累加值，容易产生大的累加误差。（2）增量型算法得出的是控制量的增量，误动作影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作。而位置型算法的输出是控制量的全量输出，误动作影响大。（3）采用增量型算法，易于实现手动到自动的无冲击切换。 例计算机控制系统如下图所示，采用PID控制，使得在单位阶跃输入时系统输出能够跟踪上输入。被控对象经过零阶保持器离散化后得校正装置的脉冲传递函数为 假设放大倍数已由静态速度误差系数确定，若假定，并要求的两个零点对消的两个极点，则由此得 数字PID调节器的脉冲传递函数为系统的闭环传递函数为 系统在单位阶跃输入时输出量的稳态值为由该例可见，由于积分的控制作用，对于单位阶跃输入，稳态误差为零。由于微分控制作用，系统的动态特性得到很大改善，调节时间缩短，超调量减小。 ●PID控制器参数的调整方法1）极点配置法将系统闭环极点配置在希望极点上，利用解析法确定PID参数。2）瞬态响应法如果被控对象的阶跃响应如下图所示，其瞬态响应曲线的最大斜率为，时延为根据和可确定P，PI和PID控制器的参数。 3）极限灵敏度法这种方法要求首先用比例控制器来控制系统，逐步增大控制器增益，直到闭环系统达到稳定的边缘，系统处于恒幅振荡状态，测出控制器的增益和系统振荡周期。根据这两个参数就可以确定控制器的参数。 数字PID控制器的改进如果单纯地用数字PID控制器去模仿模拟调节器，效果是有限的。充分发挥计算机运算速度快、逻辑判断功能强、编程灵活等优势，才能达到更好的性能。 （1）积分项的改进（ⅰ）积分分离在一般的PID控制中，当有较大的扰动或大幅度改变给定值时，由于此时有较大的偏差，以及系统有惯性和滞后，故在积分项的作用下，往往会产生较大的超调和长时间的波动。特别对于变化缓慢的过程，这一现象更为严重。为此，可采用积分分离措施，即偏差较大时，取消积分作用；当偏差较小时才将积分作用投入。 （ⅱ）抗积分饱和因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有可能溢出，或小于零。作为防止积分饱和的办法之一，可对计算出的控制量u（k）限幅，同时，把积分作用切除掉。 （iii）消除积分不灵敏区由于计算机字长的限制，当运算结果小于字长所能表示的数的精度时，计算机就作为“零”将此数丢掉。当计算机的运行字长较短，采样周期T也短，而积分时间又较长时，容易出现小于字长的精度而丢数，此积分作用消失，称为积分不灵敏区。为了消除积分不灵敏区，通常采用以下措施：①增加A／D转换位数，加长运算字长，这样可以提高运算精度。②当积分项连续n次出现小于输出精度ε的情况时，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次次累加起来，直到累加值大于ε时，输出该值，同时把累加单元清零。 (2)微分项的改进标准的PID控制算式，对具有高频扰动的系统，微分作用响应过于灵敏，容易引起系统振荡，降低调节品质。为了克服这一不足，同时又要使微分作用有效，可以在PID控制输出串联一阶惯性环节，抑制高频噪声，这就组成了不完全微分PID控制器。 （3）时间最优PID控制根据快速时间最优控制原理，使系统从一个初始状态转到另一个状态所经历的过渡时间最短的最优系统，采用开关控制（Bang-Bang控制）系统。但Bang一Bang控制很难保证足够高的定位精度，因此对于高精度的快速伺服系统，宜采用Bang-Bang控制和线性控制相结合的方式，在定位线性控制段采用数字PID控制就是可选的方案之一。 最少拍系统在数字随动系统中，最少拍系统的设计占据重要的地位。对于最少拍系统，侧重快速性，即系统通过最少的采样周期使系统稳态误差为零。 1．最少拍控制器设计当输入时，当输入时，当输入时，…………………………………………综上，其典型输入z变换式可归结为其中，A(z）为不包含因式的的多项式。 令，则稳态误差为零，即可见应有根据最少拍要求，W（z）=1，则 当输入时，（一拍）当输入时，（二拍）当输入时，（三拍） 因为所以可见，最少拍系统针对不同的输入，其数字控制器的D(z)也不同。不难看出，最少拍系统要求闭环极点在z平面原点。另外，最少拍系统不一定是无波纹系统。 最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。一般来说，针对一种典型的输入函数设计，得到系统的闭环脉冲传递函数，用于次数较低的输入函数时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增加，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。 另外，系统过渡过程虽然能在有限拍内结束，但对采样周期T也有一定的限制，要求采样周期T不能太短，否则要求系统具有很大的控制功率，而且当系统中某些元件发生饱和现象时，系统不再遵循最小拍控制规律；同时，系统所有极点都要控制在z平面的原点，这是理论上的分析，要实现该条件是非常苛刻的，实际上系统的参数不是恒定不变的，由于温度变化、元件老化等原因引起系统参数微小变化，都会使系统性能变差。 作业10-2，10-4，10-6（2）（4），10-8（2），10-11（1）10-12(d)，10-15，10-17，10-20（1）选作：10-6（3）（5），10-8（3），10-11（3）10-12(e)，10-22