控制系 统的数学模型

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1、第2章控制系统的数学模型2-1建立数学模型的一般方法2-2传递函数2-3动态结构图及等效变换2-4信号流图及梅逊公式2-5控制系统的传递函数引言定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。用途：1）分析实际系统2）预测物理量3）设计控制系统建立方法：1）分析法2）实验法表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换2-1建立数学模型的一般方法例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的运动方程。RLCur(t)uc(

2、t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)（两边求导）例2:机械位移系统,物体在外力F(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。输入F(t)，输出y(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积.mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：1）确定系统的输入、输出变量；2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程（忽略次要因素并考虑相邻元件的彼此影响）；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有

3、关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。在一定条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。饱和非线性xy在工程实际中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种

4、线性化方法称为小偏差法。例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。总之，求线性化微分方程的过程可归纳为：1）按物理或化学定律列出原始方程式，并确定平衡点附近各变量的数值。2）找出方程中的非线性关系，若平衡点附近各阶导数存在，则可进行线性化：☉将此函数

5、展成泰勒级数；☉忽略高次项，留下一次项，得一次近似式并求出数值。3）将原方程中的变量以平衡点的值加增量来表示，经整理可得以增量表示的线性方程。注意：此法是建立在输入/输出为小范围变化的条件下的，对于大多数系统来说难以满足这一要求。2-2传递函数（transferfunction）用微分方程来描述系统比较直观，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。一、传递函数的定义和概念以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s))定义：零初始条

6、件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若,我们就说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；(2)传递函数与微分方程一一对应；(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内

7、部物理结构的有关信息；(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。三、典型环节的传递函数1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。2）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：式中T——环