同济大学第五版高等数学(下)课件D107斯托克斯公式

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三、环流量与旋度斯托克斯公式环流量与旋度第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件*四、向量微分算子机动目录上页下页返回结束第十章 一、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束 则(利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束 因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束 情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1目录上页下页返回结束 为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页返回结束 例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性机动目录上页下页返回结束 例2.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式目录上页下页返回结束 *二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有机动目录上页下页返回结束 证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2目录上页下页返回结束 同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2目录上页下页返回结束 与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分定理2目录上页下页返回结束 三、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为机动目录上页下页返回结束 令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.机动目录上页下页返回结束rotation 设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:机动目录上页下页返回结束 向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.机动目录上页下页返回结束 的外法向量,计算解:例5.设机动目录上页下页返回结束 *四、向量微分算子定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则机动目录上页下页返回结束 则高斯公式与斯托克斯公式可写成:机动目录上页下页返回结束 内容小结1.斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束 在内与路径无关在内处处有在内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则机动目录上页下页返回结束 3.场论中的三个重要概念设梯度:机动目录上页下页返回结束散度:旋度:则 思考与练习则提示:三式相加即得机动目录上页下页返回结束 作业P1831(1),(3),(4);2(1),(3);3(1);4(2);6补充题:证明习题课目录上页下页返回结束 斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.机动目录上页下页返回结束