浅析矩阵分解的原理及其在人脸识别中的应用

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1、浅析矩阵分解的原理及其在人脸识别中的应用摘要：矩阵分解方法有多种，本文首先对矩阵的分解方法做了简单的介绍，这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其它领域方面也起着必不可少的作用。人脸识别是指采用机器对人脸图像进行分析,进而提取有效的识别信息从而达到身份辨认的目的。近年来因其在安全、认证、人机交互、视频电话等方面的广泛应用前景而越来越成为计算机模式识别领域的热点。本文在分析矩阵分解的原理后详细针对其在人脸识别中的应用做了一些初步认识的总结。关键词：矩阵分解QR分解奇异值分解非负矩

2、阵分解人脸识别矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。在近代数学、工程技术、信息处理、经济理论管理科学中，也大量涉及到矩阵理论的知识，矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积或者一些矩阵之和。这些分解式的特殊形式，一是能明显地反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据。人脸识别是指采用机器对人脸图像进行分析,进而提取有效的识别信息从而达到身份辨认的目的。虽然人类能轻松地识别出人

3、脸,但人脸的自动机器识别却是一个难度极大的课题,它涉及到图像处理、模式识别、计算机视觉和神经网络等学科,也和对人脑的认识程度紧密相关。现在矩阵分解在人脸识别中应用很广泛，有不同的算法来实现，本文将对现有的算法做总结和比较。1矩阵的分解方法矩阵分解(decomposition,factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：1)三角分解法(TriangularFactorization)，2)QR分解法(

4、QRFactorization)，3)奇异值分解法(SingularValueDecomposition)。1.1矩阵的三角（LU）分解LU分解，设A=()是n阶可逆矩阵，如果A的对角线下（上）方的元素全为零，即对i>j，=0（对i

5、义逆矩阵的计算方面，都是十分重要的。以下为矩阵的QR分解：设A是n阶可逆实矩阵，则A可惟一分解为A=QR其中，Q为正交矩阵，R是主对角元素都是正数的上三角矩阵。1.3矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解是将非零矩阵分解为列满秩和行满秩矩阵的乘积。设A(r>0)如果存在矩阵F和G，使得：A=FG则称其为矩阵A的满秩分解。1.4矩阵的奇异值分解奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分

6、解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。奇异值分解(SVD)是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。和QR分解法相同者，原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。矩阵的奇异值在最优化问题、特针织问题、最小二乘方向题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有重要的作用。设A，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得其中E=diag(),而为A的正奇异值，称

7、为A的奇异值分解。2矩阵分解在人脸识别中的应用2.1矩阵分解应用于人脸识别的发展历史人脸识别的研究可以追溯到20世纪60年代,近20年来得到了迅速发展,涌现出了很多新的方法。这些方法的有效性很大程度上取决于它们所提取的人脸特征。目前可利用人脸特征可分为四类:视觉特征,统计特征,变换系数特征和代数特征等。其中,代数特征被认为是人脸的本质特征,表征了人脸图像的内在特性。目前典型的代数特征主要包括奇异值特征和本征脸(Eigenfaces)特征等。本征脸(Eigenfaces)技术比较成熟,但其计算较为复杂,因

8、此国内关于代数特征的研究主要集中于奇异值特征上Hong在文献中首先提出了经典的基于奇异值特征的人脸识别方法,把人脸图像视为一个矩阵,进行奇异值分解从而提取其奇异值特征,并投影到Foley2Sammon最佳鉴别平面进行识别,但在实验中误识率为42.67%,Hong认为是小样本对统计方法的影响。随后许多人提出了消除小样本统计方法的影响的方法，但是这些方法均采用人脸的奇异值特征取代原始的人脸图像。然而最近的研究表明,这是远远不够的，后来的文献中有