线性代数习题及答案(复旦版)[1]

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1、线性代数习题及答案(复旦版)[1]线性代数习题及答案习题一1.求下列各排列的逆序数.　　(1)341782659；(2)987654321；　　(3)n(n?1)…321；(4)13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.【解】　　(1)τ(341782659)=11;　　(2)τ(987654321)=36;　　(3)τ(n(n?1)…3·2·1)=0+1+2+…+(n?1)=;　　(4)τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).2.略.见教材习题

2、参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式的展开式中包含和的项.　　解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有　　展开式中含项有.5.用定义计算下列各行列式.　　(1)；(2).【解】(1)D=(?1)τ(2314)4!=24;(2)D=12.6.计算下列各行列式.　　(1)；(2)；　　(3)；(4).【解】(1);　　　(2);　　　　　　7.证明下列各式.　　(1)；　　(2)；　　(3)　　(4)；　　(5).【证明】(1)　　(2)(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项

3、式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4)对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得　　(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.　　当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.　　按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有　　8.计算下列n阶行列式.　　(1)(2)；　　(3).(4)其中；　　(5).【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得(2)按第

4、二行展开(3)行列式按第一列展开后，得(4)由题意，知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.(5)　　　　　.即有由得.9.计算n阶行列式.　　【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（?1）后加到其余各行，得10.计算阶行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11.已知4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】同理12.用克莱姆法则解方程组.　　(1)(2)【解】方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为　　13.λ和μ为何值时，齐次方程组　　有非零解

5、?　　【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式　　即故或时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组　　有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足即(a+1)2=4b.15.求三次多项式，使得　　　　【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点位于同

6、一直线上的充分必要条件.习题二1.计算下列矩阵的乘积.　　（1）；（2）　；　　（3）　；（4）　；　　（5）；（6）　.【解】(1)(2);(3)(10);(4)(5);(6).2.　设，，求(1);(2)；(3)吗?【解】(1)(2)　　　(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.3.举例说明下列命题是错误的.(1)若，则；(2)若，则或；(3)若，，则.【解】(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令则AX=AY,但X≠Y.4.　设,求A2，A3，…，Ak.【解】5.　，

7、　求并证明：.【解】今归纳假设那么所以，对于一切自然数k,都有　　6.已知，其中　　求及.【解】因为

8、P

9、=?1≠0,故由AP=PB,得而　　7.设，求

10、

11、.　　解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即于是有.8.　已知线性变换　　利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为9.　设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,故也为对称阵.10.　设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明

12、】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB为对称阵.11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(