理论力学复习资料

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1、第十二章动量矩定理动量是描述质点系随质心平动的一个动力学量，它不能描述质点系相对于质心转动的动力学状态。相应地，动量定理也不能描述质点系相对于质心或某一固定点的运动规律。本章引进动量矩的概念，并研究描述质点系相对于某一定点（或定轴）或质心的运动状态与外力矩之间的关系——动量矩定理。■主要内容：▼刚体对轴的转动惯量▼质点和质点系的动量矩▼动量矩定理▼刚体定轴转动微分方程▼质点系相对于质心的动量矩定理▼刚体平面运动微分方程■重点内容：动量矩定理的应用及刚体平面运动的运动微分方程§12-1刚体对轴的转动惯量一、定义——刚体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方的乘积之和。■若刚体的质量是连续分布，

2、则■转动惯量恒为正值■单位：■量纲:刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度。二、转动惯量的计算■积分法（具有简单几何形状的均质刚体转动惯量的计算）▼均质细直杆对轴的转动惯量设杆长为，单位长度的的质量为，取一微元段，其质量为，此杆对转动惯量▼均质细圆环对中心轴的转动惯量均质细圆环半径为，质量为。将圆环沿圆周分成许多微元段，每段质量为，到中心轴的距离均为。则圆环对中心轴转动惯量▼均质薄圆板对中心轴的转动惯量设均质薄圆板半径为，质量为，单位面积质量为。将圆板分成许多同心细圆环，圆环半径为，宽度为，则细圆环的。质量为。圆板对中心轴的转动惯量为■惯性半径（回转半

3、径）比较以上简单物体转动惯量表达式知，均质刚体转动惯量与质量的比值仅与刚体的几何形状和尺寸有关，几何形状相同而材料不同的刚体，上述比值相同。令并称为刚体对轴的惯性半径（又称回转半径）。对不同材料的刚体，若已知，则对轴的转动惯量可按下式计算该式说明，若把刚体的质量全部集中于一点，并令该质点对于轴的转动惯量等于刚体的转动惯量，则质点到轴的垂直距离就是刚体对于轴的惯性半径。为方便使用，将部分简单几何形状的物体的转动惯量及惯性半径列于下表。简单几何形状物体的转动惯量物体简图转动惯量惯性半径体积细直杆，薄壁圆筒圆柱空心圆柱实心球圆环矩形簿板在工程技术中，一些形状已经标准化的零件，其转动惯量和回转半径可

4、从有关手册中查阅。■平行轴定理刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积，即该定理的证明请参阅一般的理论力学教材。由该定理知，在所有相互平行的各轴中，刚体对过质心的轴的转动惯量最小。■组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量，然后再加起来例1：钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为和，杆长为，圆盘直径为。求摆对过悬挂点的水平轴的转动惯量。解：记均质细杆、圆盘对过悬挂摆点的水平轴的转动惯量分别为、，则摆对过悬挂点的水平轴的转动惯量式中。记为圆盘对中心轴转动惯量，由平行轴定理则

5、对于几何形状复杂的物体，工程中常用悬挂的方法，通过对微小摆动周期的测定，计算物体对过悬挂点轴的转动惯量。■实验方法常用的方法：扭转振动法；复摆法；落体观测法等。下面以复摆法为例加以说明。将复摆悬挂，测定其微小摆动的周期T。则复摆对悬挂点的转动惯量为§12-2质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩1、对点O的动量矩■瞬时矢量■方向：垂直于矢径与动量所形成的平面■指向：按右手法则确定■大小：■单位：■量纲:2、对轴的动量矩以矩心O为坐标原点，建立直角坐标系Oxyz，由矢量积定义质点的动量对固定点的动量矩在通过该点的任一固定轴上的投影等于质点的动量对该固定轴的动量矩二、质点系的动量矩1、对点O的动量

6、矩质点系各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称质点系动量对O点的主矩。2、对轴的动量矩质点系各质点对同一轴的动量矩的代数和。质点系对某固定点O的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩三、刚体的动量矩1、平移刚体将全部质量集中于质心作为一个质点计算2、定轴转动刚体（式中Jz为刚体对转轴的转动惯量）3、平面运动刚体z轴垂直于刚体运动平面Jc为刚体对质心轴的转动惯量例2：滑轮A：m1，R1，J1；滑轮B：m2，R2(R1=2R2)，J2；物体C：m3，v3；求：系统对O轴的动量矩。解：系统动量矩：（逆时针为正）§12-3动量矩定理一、质点的动量矩定理1、对于定点的动量矩定理两边对时间

7、求导，得质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。——质点对定点的动量矩定理2、投影式——质点对于定轴的动量矩定理3、守恒式恒量恒矢量即：若作用于质点的力对于某定点（或定轴）的矩恒等于零，则质点对该点（或该轴）的动量矩保持不变，或称动量矩守恒。——质点动量矩守恒定律二、质点系的动量矩定理1、对于定点的动量矩定理即：质点系对于某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对