2015河南选调生考试行测辅导:同余问题中的剩余定理

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1、www.huatu.com余数问题中的一个重要问题就是同余问题,在同余问题解决过程中,华图公务员考试研究中心推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期,余同取余,和同加和,差同减差的应用,但是有时候会出现余不同,和不同并且差也不同的现象,这就需要我们采用剩余定理进行解决。  剩余定理的原理是在“孙子问题”现代数论中的一个一次同余问题,它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说:有物不知其数,三个一数余二,五个一数余三,七个一数又余二,问该物总数几何?显然,

2、这相当于求不定方程组  N=3x+2,N=5y+3,N=7x+2  的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价于解下列的一次同余组:  N2(mod3)3(mod5)2(mod7)②  《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单,这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法:三三数之,取数七十,与余数二相乘;五五数之,取数二十一,与余数三相乘;七七数之,取数十五,与余数二相乘。将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。列成算式就是:  N=70×3

3、+21×3+15×2-2×105。  这里105是模数3、5、7的最小公倍数,容易看出,《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形,《孙子算经》术文指出,只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数,那么《孙子算经》相当于给出公式  N=70×R1+21×R2+15×R3-P×105(p是整数)。  孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指这三个关键的数字。《孙子算

4、经》没有说明这三个数的来历。实际上,它们具有如下特性:  国家公务员

5、事业单位

6、村官

7、选调生

8、教师招聘

9、银行招聘

10、信用社

11、乡镇公务员

12、各省公务员

13、政法干警

14、招警

15、军转干

16、党政公选

17、法检系统

18、路转税

19、社会工作师www.huatu.com  也就是说,这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后,再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2,K2=1,K3=1,那么整数Ki(i=1,2,3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发,立即可以推出,在

20、余数是R1、R2、R3的情况下,    综合以上三式又可得到    因为M=3×5×7可被它的任一因子整除,于是又有:    这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理,可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形:设有一数N,分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn,即  N≡Ri(modai)(i=1、2、……n),  只需求出一组数Ki,使满足    那么适合已给一次同余组的最小正数解是    (P是整数,M=a1×a2×……×an),这就是现代数论中著名的剩

21、余定理。如上所说,它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。  剩余定理的原理比较繁琐,不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题,对剩余定理的解题方法加以熟练:国家公务员

22、事业单位

23、村官

24、选调生

25、教师招聘

26、银行招聘

27、信用社

28、乡镇公务员

29、各省公务员

30、政法干警

31、招警

32、军转干

33、党政公选

34、法检系统

35、路转税

36、社会工作师www.huatu.com  【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少?  

37、【解析】题中3、4、5三个数两两互质。  则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。  为了使20被3除余1,用20×2=40;  使15被4除余1,用15×3=45;  使12被5除余1,用12×3=36。  然后,分别乘以他们的余数:40×1+45×2+36×4=274,  因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。  【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少?  在1000内符合这样条件的数有几个?  【解析】题中3

38、、7、8三个数两两互质。  则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。  为了使56被3除余1,用56×2=112;  使24被7除余1,用24×5=120;  使21被8除余1,用21×5=105;  然后,112×2+120×4+105×5=1229。  因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。  再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合

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