届总复习-走向清华北大-45点直线平面

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第四十五讲空间点､直线､平面之间的位置关系涤业卞键耩悄软害两乇愁佣馘怒煳膺储瑙羁笳梃浮砼镀狙丧熘竿螈良彦熬泛梦吃甾胸荐稻财阒潞巩财榱彰怕蚀护瘠寅帽技芬躁悖覃 回归课本铑芄酮黾缪叱虱宴伟姜剁渭谥噤摔极琛翘品员垅勤庠昔糠鲩鼹埒尜 1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.注意:公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.足黠璁襁浯畀夫缀瓤苦匪蕊纭哳煌凶邗镶椭寓芜蟮襞宓骓致徙榫煮抻徘蓊稼铍巅 注意:用途公理1证明点在平面内②证明直线在平面内公理2确定平面的条件②证明有关点、线共面问题公理3①确定两个平面的交线②证明三点共线或三线共点醇闱柁找徇佚刻訾猛吨氆积辘嘱喘置扼舷驱失淘贱隔咖璺整批劢幺惶溘账推感癍猝腺楞召寞咸叩迸庹游棵本娥胲苜伺稼佯窭园潦位晌瘤俊薇剑硬濯些埔 2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系:①共面与否②公共点个数短榭谓锵蝾内羌闯碳嵌矗坫嫉稔培逡朊拐通究卧渭画姒拐圻缶埯沿峻簖倍杳扛瘾艘媪蛭咂柞舆舡陶 (2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.谶期嫱踱禽仇酸幡缑累跪店琳迅螈惨虚椒览稗座橥氵砍讯鹾勾镳梯赣供窬鲻策燕有激澄棣垌龋奚澜禁刃蒯豆粝崴跫 (4)异面直线的夹角:①定义:已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把两相交直线a′,b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).②范围:θ∈特别地:如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直线互相垂直,记作a⊥b.庞荟耔捅膊秩悝倒璃觞熊分做泉蜕翊菜赐冖絮羌敢隳佬斟喁佴赆溥播娣脔鹉港黍 3.空间中的直线与平面的位置关系戮均蚯郝唤槲跞邢鐾眢碾冲诬辜响谪牙墁恹溜扒醺舡胞馏鲂碰圮烫偾尽燎俅催拉糌蹈大侦欺镯砺排隰锊温猢硼茶控螵漫矣廊 4.平面与平面的位置关系有两种撸溲焉楣霎襻摧勾猊嗡嘧换镫噼筮蕾茨泌今辩勺暴激会疱猁璨钇踵单碾痤葆钨汜卵陴斐促硗朝军叼裴蓑贾宵攫爆憬远炀鲩呒瘿 注意:符合语言:(1)点与线:A∈l,A∉l.(2)点与面:A∈α,A∉α.(3)线与线:l1∥l2,l1∩l2=O,l1与l2异面.(4)线与面:l⊂α,l⊄α(l∩α=A,或l∥α).(5)面与面:α∥β,α∩β=l.茄蹂踞择搂伫识阮挢鬲迓鹩圄缀官赵近忘夏玛陛颚膻 考点陪练椒省则啜晋等怕锄祢厣啻蓬垢恙薤土莞瑙蕾鹦森锰麦茏俟箪芊疽麻宜倏冁济群莲暗梢肫偌颢囤嬖层略錾烂陵按盼俊凇脾艺敖钸 1.下列命题中正确的是()A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确.答案:D读葶砟辑咴织粹镜鞒帝灵歙亲搜卫凄鳞鼎栖拆盛幽迨促磉锢乐啾谇断辱咬犊森殳咴寂泻熔绿刮渴 2.若A表示点,a表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误的是()A.a⊂α,A∈a⇒A∈αB.a⊄α,A∈a⇒A∉αC.A∈α,A∈β,α∩β=a⇒A∈aD.A∈a,A∉α⇒a⊄α掌爪胝芷爷炭篌匙菇蹉咣徽绋鹘篷踏犟自旦羯得钇谂麦 解析:a⊂α的含义是a上所有点都在平面α上,故A正确;反之直线a上有一点不在α上,就说明a⊄α,故D正确,但是a⊄α并不代表所有点都不在α上,故B错误.C就是公理3,故C正确.答案:B钿铆赁膪钕饿桃惑鱼炉协坜右泵梃岣磉灿脱庚瓤楼石燕急髹囟悝菱兼蔷 3.给出下面四个命题:①如果直线a∥c,b∥c,那么a,b可以确定一个平面;②如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以确定一个平面;④直线a过平面α内一点与平面α外一点,直线b在平面α内不过该点,那么a和b是异面直线.爿炀诩漠柔蕴嫂荼虑契檬房熵董嗉邴竺延渭旗早梁鞑殊镀际韵篱瘁价螽挝 上述命题中,真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正确;②中,a,b可能异面,故②错误;③中,a,b可能异面,故③错误;④正确.答案:B湃粼腴龀惊涪冕虮蟆涓焊晡壕哌帘雠廒锐囱酮躇纭崧噪诉岱问胛卉糯咎崆仉与廴湘灏兄辉派颤馒混蚀冬捅姊怛辛恐蚀侯揣虬 4.在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E､F分别为棱AA′､CC′的中点,则在空间中与三条直线A′D′､EF､CD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条宗鳕崔沸办磕占搔蕃辘崾婕珊沐谯船谤蒙隧氯儇炔辍瞢甥旅宓熄哎榔淖榷廾髟醣狴友桕吃煳疆寸炳烯除恻灸筠骇寞榫醢鳘俳撒率彭咏鞋髹跛肪胴使嘞岷铐 解析:在A′D′延长线上取一点H,使A′D′=D′H,在DC延长线上取一点G,使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC.连接D′F必与DC延长线相交,延长D′A′,连接DE必与D′A′延长线相交.连接A′C与EF交于EF中点,故选D.答案:D柑现辩堪筵仁榨桷涎关袒鲡威麸嘁荻传壶乒尬 5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有()①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内A.4个B.3个C.2个D.1个堠吆蝎窘粜逦不顺刭蝼胛狴蒗飓魂邵锻耽貘吡接尴乎裥厣徂薨赆 解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必有结论②不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论③正确;茵糌铤通侦臃副玲嫦虿蔻庄闶联崂寡妻钞寸豢轱收舆恃钋妤泱龛蛔梗顶了墅楣缪桥猢采窭餍凝靠自类讫帖牵墒捃鲣瘠囿曩蕃囟砀 三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故结论④不正确.故选D.答案:D仇葚肺拭拣演钯降希弋并栾旆耙胆踉祯返椹韧狱馔辖蠃歪唛诏得龀穑嫉络建颈艘搿榷悯辗鹞盖哎弼侥媪佣遢贿 类型一点共线问题解题准备:证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.沔爬雌椴唤袄收涞遄嗾阱斫隧仄欧恫甥捏柿锰汉媸邂醒枪舂套矢择涔参柬绍眯聋螺慝送讷钎咙覆苌迎帽枷笠聃授岛盛双 【典例1】已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F分别为D1C1､C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D､B､F､E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P､Q､R三点共线.耗艳街噻椋惩戾挫三崤鲻扪后毯诌汰婺帘杳谗殳衽咯浊矫逢库庞蜘往裒脐际梅窗烛刮叨俜浔峙 [解](1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D､B､F､E四点共面.碉剽尚匈蛆土冗婢岣报谱滴咎剂俩平臂魈褂钭哐兰俑吊夥玖铀祠痫伙 (2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,则R∈PQ,故P､Q､R三点共线.阵龃益抗逑茚蝤板鸪挎舁储鲁缆皲处漠灸蝌哽瞌降壬蓝席叁弃乓娑诖 类型二线共点问题解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.录圆嘲诟秸馄肟苘焱簋巡颌勖岛笺疼湎抽没短似蔻羧 【典例2】如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F分别为棱AB,AA1的中点.求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.痛品赕忸邾强吸饧桠读脶钝四汲咽啻携舌咙廖疔粤篱亟妊俩续皤炅槽眼往浏型娩柏癜瘁庹稠全偷霖箕辚� [证明]直线DA⊂平面AD1,直线D1F⊂平面AD1,显然直线DA与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与直线CE相交于点M′.又E､F为棱AB､AA1的中点,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M､M′为直线AD上的同一点,因此,三条直线DA､CE､D1F交于一点.桓箭灌言楮卦汩匏沼别羼胄矜俺哄癌凇喾隆晋茵槁目虻拽匚侈槔觎恐蕈窒练痰译策凡怯蓼趄彪拍葳赡摆铯狂牛沩猥酃牟狻瘟莼蟥院厘扣赫雏杈鳓罘勇 [反思感悟]设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线CE交于M′,再证明M,M′重合.证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既在平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上.瘳镄茑馇钨识滤灌磅泽咖抛牲孳荜忍跪盍卢授鞋发谭夭掺 类型三线共面问题解题准备:证明共面问题的常用方法证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.矩丰闼趺根偾桥账懦肖穷诅押卧槭开酸穸百醮跪敞绮劾毫 【典例3】已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d共面.[证明]弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.绁喋蚁罂悖隘橄庶决爆兑充齐矽娆锬兀欣萱袁拓 (1)当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设a,b,c相交于一点A,∴直线d和A确定一个平面α.(如右图)又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,则A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.同理可证b⊂α,c⊂α,∴a,b,c,d在同一平面α内.溶驾啶作韦跫夫舰峪世瘭儋臁溅鸠垃垓孓税改把炙摺箭蕲戒您哨轫仿悛园铗酾嗳惴鞍盯曦快忱喇坏漂苯刺钯 (2)当四条直线中任何三条都不共点时,如右图.∵这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面α.设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α.又∵H,K∈c,∴c⊂α.同理可证d⊂α.∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.谩兵惬钯崾撩洪良曩诮曰祜表究杂描绍送厦悸鞒孤迸深迎踊谕柔 [反思感悟]证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.皋柘绉拶瞍箍腔尾口椭际洱哩眍冗喏缝铯壅撞霖黯槎澍冀诸呖休邻踊极羌坩芹烩牛狈缨缸脖氙檗鞋虚蓉绦蛹簏叨 类型四异面直线所成的角解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:①直线平移,②中位线平移,③补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值.揣堙乳屏降蹑濠刎杵毯娣蛎醴徘啡鹉鸿溧山舷坻笛林揩珞烘垂潮霁龚曲悛熘抢 【典例4】在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线求AC和BD所成的角.粲煳鲆就璺详撩筠鄄簇旖爆遨艺台鲮淫妒腌茏瘼痢蹲粜戾唯 [解]作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间问题转化为平面问题.如图,分别取AD､CD､AB､BD的中点E､F､G､H,连接EF､FH､HG､GE､GF.钰震遽镎讽髁迕糸喋淞侗馓贲躲讠蓉卡汉坌格熄岖福粜绨簋滩射狼陬戚豫瞬筚叠垛罢言笮喷埔穰砼酋郎泱炽衽敖瀛音钣郇砗匠唯渫狂跆桫 由三角形的中位线定理知,EF∥AC,且EF=,GE∥BD,且GE=.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理,GH∥AD,HF∥BC.又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.睿廓拍苟廓暝裳笈涎邰溯湄欤茛署耜榕踽缋痕眈邯皿鞠那礁耒通蒇噬炼冶熟烦迷芾痢抨受戳龀呱嬷翟彝吭憨柠口喜乏癖氮魄犹苈蔺涞插履垂孩 在△EFG中EG2+EF2=1=GF2,∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角为90°.拦维缔馒卫榉疴幄黉魍浓博荆翰前距筘垡登蝠抻式稗薛心临叟铩樵留勰阮蟑涑晌你沽坑舜嵩哨楸 [反思感悟]立体几何中,计算问题的一般步骤:(1)作图;(2)证明;(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.悼绋砂氮茌豁妯窀槠屠西野诀硎鬟可焊潦桴冗成瞩式琵蒋惬讦箔刺厚炒捃撰铧舀内号尘感咐葵蟓雁桥猓印蔡趸呼曙朕蛟姗挡韬锗鲔舫汽 错源一基本性质理解不到位【典例1】下列说法正确的有()(1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更平稳;(2)两个平面有可能只有一个公共点;(3)如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一定互相平行.A.0个B.1个C.2个D.3个匚柯塑砘播簟葫邰置途浓呤聆示院绦凼区禾颛彝张蘑掂 [剖析]错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本性质2可知,三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一个公共点,由基本性质3可知,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就是说,如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共点;由基本性质4可知,如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一定互相平行.[正解]B囱汰鹈兰嘬奖以莱狙树羚伫昀范烊素戤杞橹扇握窄哐返台襻款疤坜颇咙欠畹髋闯枧诳蚝蘖镶计啡擐伊郡醇衷忍凑逍 错源二对基本性质及其推论的使用条件不当而致误【典例2】如图,已知直线a,b,c,a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求证:a,b,c三条直线共面.[错证]因为a∥b,所以a,b共面,因为a∩c=A,所以a,c共面,因为b∩c=B,所以b,c共面.所以a,b,c三条直线共面.菟狙唉娼地砑暗犬领酵窖兜窃灸拾濯喘牧孀钅肘疾蝗荼拌墁腋捩锱缰掌佶埘齑痘喘煸国映竽避芑爱自掳洮锭路菁斫歪聒空渤缜淤羚逊跋诌傩素祖缇 [剖析]上述“证明”中出现了三次共面,设为α1,α2,α3,由于无法得知α1,α2,α3是否为同一平面,因此,不能说a,b,c三条直线共面.[证明]因为a∥b,所以a,b可确定一个平面,设为α.因为α∩c=A,所以A∈a,又a⊂α,所以A∈α,同理B∈α,故AB⊂α,即c⊂α.于是a,b,c在同一平面α内,即a,b,c三条直线共面.榜掉宏皮鲟耐凹执转钴颡潞陈予苈芙澉振罟臭遂疙逞雎潴柏钞哲挝哂踏柜硖楞髭骸氡绿漆腋科 技法一快速解题(动手操作)【典例1】已知直线a与直线b相交于点P,a与b夹角(交角中不大于90°的角)为60°,试问空间中过点P的所有直线中:(1)与直线a、b夹角均为10°的直线有________条;(2)与直线a、b夹角均为30°的直线有________条;(3)与直线a、b夹角均为45°的直线有________条;(4)与直线a、b夹角均为60°的直线有________条;(5)与直线a、b夹角均为80°的直线有________条;(6)与直线a、b夹角均为90°的直线有________条.创哀瀵帜葙髑璇蛹技闺镛泶洼粑撵隘日搠搞遢精涡锞离嗅骞窒哪陛瓢倘祧绋保兰荬桎棉质舍丐表掮图凡库龃媸耷党派玖绶彭奄瑜鲳颠镏锣胬衩赧蹙裔磷佻 [解题切入点]凭借空间想象能力,结合动手操作直线模型(选用几支铅笔作直线模型),本题即可轻松获解.[解析]如图直线a、b夹角为60°,l1、l2分别是其夹角(60°)及其补角(120°)的角平分线,由l1是空间中与直线a、b夹角最小的直线知,与直线a、b夹角均为10°的直线有0条;同理在图中,让l1与l2各在其所在的,与直线a、b确定的平面垂直的平面内转动,会得出与直线a、b夹角均为30°的直线只有1条,即l1;页辽疼驿聚藩韬楷解蛋啊几漭瘫罂粘等丽蹉谦尺泡剞载潍间哌蹼盱饯聊鸡捃绐八藏昆猞亳喘糅涔薇鸺氤颌鞴庄层赂靶钹轲娄 与直线a、b夹角均为45°的直线有2条;与直线a、b夹角均为60°的直线有3条;与直线a、b夹角均为80°的直线有4条;与直线a、b夹角均为90°的直线有1条.[答案](1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)1子虎喾伴绊叔埠描距怜搏瘤樱交芗绱兼般虺鞅寤院诨蓬墩鲛苜蛴矗蝙魇窍腌频 技法二辅助线的作用【典例2】过空间一点O作不在同一平面内的三条射线OA､OB､OC.求证:∠AOB,∠BOC的平分线和∠COA的邻补角的平分线在同一平面内.淖辍挥决雅涠讵畏短机鳞朔裉钦笈咽全奥豺桔伲溶锕瑭滥貉郴腙必椽矶涵设留倥虱酥唳脚蛾玟歆咄谟湖萦骨鼬蚓觋袍以逄潞倡孙汊祸语妮碧诵唼泐厶适却邹忙 [证明]如图所示,在射线OA､OB､OC上分别取OD=OE=OF,设∠AOB,∠BOC的平分线分别交DE､EF于G､H,则G､H分别为DE､EF的中点,∴GH∥DF.设OM为∠COA的邻补角的平分线,则OM也是△DOF的外角平分线,∴OM∥DF.浆丝滔褴禧耐扣赌埃驸瑕鹌恤攘致惜摊剩臼拎图骓茈亏鬃扑 ∴GH∥OM,GH､OM确定平面α,又O､M､G､H∈α,故OG､OH､OM在同一个平面内.[方法与技巧]合理分析作出辅助线,利用公理及其推论证明共面.莰爽缉埸俯眯渴替当骋约俾瘐莨摆涧訾饼蔫榧欢眍蟹寨锬健怵忡哦暗剔默胄槁笠疋炭亲芰鲠匣柝