北京市顺义区2013届高三尖子生综合素质展示数学试卷(理科)

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1、顺义区2012届高三尖子生综合素质展示数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．计算得()A．B.C.D.2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是()A．B．C．D．3．直线，都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递减，则()A．B．，C.，D．，4．函数在坐标原点附近的图象可能是5.等差数列的前项的和为，若，则（）A.9B.12C.15D.186．已知函数则“”是“在上单调递减”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7

2、.直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数），且(O是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（）A.B.C.D.8．对于任意，表示不超过的最大整数，如.定义上的函数，若，则中所有元素的和为（）A．55B.58C.63D.65二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．已知为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，若则=.10.设函数在内导数存在，且有以下数据：12342341342131422413则曲线在点处的切线方程是；函数在处的导数值是．11．已知在上的最大值为2，则最小值为.12．设，则的值是；的值是.13.已知

3、M、N是所围成的区域内的不同两点，则的最大值是.14．已知下列四个命题：①函数满足：对任意，有；②函数,均是奇函数；③若函数的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足，那么；④设是关于的方程的两根，则.其中正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，求函数在区间上的取值范围．16．（本小题满分13分）现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为和时，得到

4、的回报是．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.17．（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，（（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若数列的前项和为，问：满足的最小正整数是多少？18．（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）若时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）令，是否存在实数，当（是自然对数的底）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分13分）已知的顶点A、B在椭圆（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积；（Ⅱ）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

5、20．（本小题满分14分）已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.（Ⅰ）判断函数是否是“S-函数”；（Ⅱ）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；（Ⅲ）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.顺义区2012届高三尖子生综合素质展示数学试题参考答案（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。题号12345678选项BACABCDB8．解答：，，，，，，，二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，第一空

6、3分，第二空2分。9.1710.，1211.012.；13.14.①②④三、解答题:本大题共4小题,共30分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为角终边经过点，所以，，------------3分---------6分(2)，--------8分----10分，------------------12分故：函数在区间上的取值范围是---------------------------13分16.（本小题满分13分）解：由于，所以．------------------------4分考虑，由得，-------

7、----------------------8分由于当时，；当时，，---------10分所以是的极大值点，从而也是的极大值点．---------------12分故当投到产品开发的资金为元时，得到的回报最大.----------------13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，……2分数列是以为首项，以2为公差的等差数列∴……6分（Ⅱ）数列的前项和为……10分满足的最小正整数是12.……13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，………1分所以，又………2分所以曲线在点处的切线方程为；………3分（Ⅱ）因为函数在上是减函数，所以：在上

8、恒成立，………4分令，有得………6分得；………7分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，①当时，，所以：在上