面积方法解几何问题

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1、第一讲利用面积方法解几何问题教学目标：让学生掌握面积方法在解几何问题中的特点，总结重要的思想方法和几何图形模型，从而体会面积方法的重要性。教学重点：面积方法的几何模型教学方法：讲解与思考练习结合几何（Geometry）始于面积（geo-），面积方法是解题利器，比如用面积方法怎么勾股定理。面积方法保留了几何的直观性，又具有代数方法的模式化特点，也可以沟通轨迹、坐标等问题，同时可贯通小学、中学、甚至大学的相关知识。张景中院士已经将面积方法发展成以面积为中心的新的初等几何体系。（参见：张景中，曹培生.从数学教育到教育数学[M].

2、北京：中国少年儿童出版社，2005.）一、基础知识（一）三角形的面积公式中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c;三边上的高会别半周长为p；外接圆、内切圆及a边上的旁切圆的半径分别为R、r和，圆心分别为O、I、Ia；面积为,则：（1）;（基本公式）（常常是通过证垂直关系得出高）（2）;（核心公式）问：1等腰三角形腰上的高相等？2等角对等边？注：1张景中由此展开新体系2对于角正弦值相等（同角）的认识，如补充练习1；3可以用此公式证明共角定理，角平分线长公式、张角定理等（2’）斜高公式：，其中p为a边上连接所对顶点的一条线，称

3、为斜高；（2’’）引申公式：简单四边形面积公式注：四边形中对角线中点引出的模型（3）；问：1如何证明海伦公式（作高，由勾股定理关系可求出）注：上面三个公式是最基本的公式，由此可以导出给出三角形一些条件求出三角形面积。问：2如果已知三条高线（代换出a、b、c，再用海伦公式求出S，再解出S），三条中线（三条中心构成三角形于原三角形成相似三角形，用海伦公式和面积比定理求出），三条角平分线（？用角平分线长公式，代换出各边长，再用海伦公式），另外，还有注入一直两角一边，一边及另外两条边上的高、或一角一对边及这边上的中线等，求面积的公

4、式……，3你还能够得出哪些公式？3（4）；（由正弦定理即可得出，常用在证明恒等式，表达不同的关系）注：利用正弦定理转化角的关系到边的关系，如例7，例11，例12，例13，练习6（5）注：1分三角形的一种模型，引申为四边形内心分四边形模型，如例3；分周长又分面积问题，如例6；均是利用内心到各边距离相等的性质，从而把面积关系转化为边的关系，在高维中有类似的情形。2利用切点分三角形内外一种模型，从而引出对角直角模型，如例14，例4，例7，练习3（6）。（类似公式（5））面积剖分思想，如练习6（二）三角形面积比定理（1）等底（或等

5、高）的两个三角形面积的比等于其上的高（或底）的比，特别地，等底等高的三角形的面积相等；注：1共点高三角形面积比关系性质被张景中院士作为新体系的基础，这种关系也是重要的，它可以用来证明共边三角形面积比定理，由此还可以衍生四边形里的模型，比如例5，例16。2等高三角形平行模式（也可以用共边三角形的特殊情形来理解），如例5，例15，练习2，（2）两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方；注：用此定理证明勾股定理。例10，补充作业，等高面积比和相似比，如练习4如图，DE平行AB，DF平行AC，且S△BDF＝m，S△CDE＝n，求S

6、△ABC。（3）共边比例定理如果和△QAB的公共边AB所在的直线与直线PQ相交于点M，那么.注：本定理有多种图形模式。例8、例9，练习7，8模型2，三角形中模型证明塞瓦定理，以及练习7（4）共角比例定理在中，如果或者，那么。注：用来证角平分线定理。练习9（三）类定比分点三角形面积公式若(AP/PD)＝n，则S△PBC=(S△ABC+nS△DBC)/(1+n)。证明：1可利用高的关系；2面积剖分关系；注：运用于例2（四）张角定理证明三点共线的模型，如练习10运用证明：蝴蝶定理，射影几何完全四点形的调和比性质（与引申例题，另外

7、，也可以用共边定理证明），证明正弦和角公式（如何证明），三角恒等式：若，则。用面积关系，你能够证明哪些三角公式3二例题见几何画板三小结思想方法1面积剖分（有多种模型）与方程（同一面积不同的算法）思想：剖分模型1：如面积公式（5），三角形面积由内心分成三个三角形；面积计算模型：1四边形对角线相乘，如公式（2’’）；方程模型：如勾股定理的证明；角平分线长公式；张角定理的证明；例1，练习1，例3，例2，例12，例13，例14，练习2，练习5，练习10……2通过面积比定理和正弦定理对图形中线段比例关系进行转换的思想如：面积比定理有

8、多种模型附完全四点形的调和性质：（KL，FG）＝－1等价于(KF/FL)＝(KG/GL)，而这一性质与原来一个用位似变换证明的一个问题又是相互联系的。如图MN平行KG，求证：MP＝NP，而它与（KB，MC）＝－1是等价的，而前后调和关系是成射影变换的关系。3