3、并且称这个函数系为一个正交函数系。若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：111.11.-/,-cos--r=sin一-r=cosnx^-sinnx^•••a/2"J"”'7T那么这个函数系在［吻上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的（规范的）1.权函数定义设"⑴定义在有限或无限区间［〃,加上，如果具有下列性质：(l)p(x)>0,对任意Xa〃(2)积分JX存在,(〃=0,1,2,…),⑶对非负的连续函频(X)若门⑴夕⑴公=0则在(a,b)上g(x)=0称"(上)为［〃,切上的权函数1.内积如(x),g(x)eC［a,b］9"(x)是［a,。］rb上的权函数，则称(
4、九g)=J/(x)/(x)g(x)dx为/(X)与g(x)在［〃,力］上以夕(X)为权函数的内积。内积的性质：(1)(fJ)>0,且(f1)=0o/=0；(2)(f^)=W);⑶仿+/2，g)=(/l，g)+(/2，g)；(4)对任意实数上(kf,g)=k(f,g)o设/(X)，g(x)wCab］若rb(f,g)=jp(x)f(x)g(x)dx=0则称f(x)与g(x)还S,上带权"(x)正交。定义设在口"］上给定函数系｛必⑴｝,若满足条件(血⑶,敕(x))二0,j^k4>0,j=k(，U,…)(4是常数)则称函数系｛%(x)｝是［a,。］上带权夕(X)的正交函数系,特别地，当乙三1
5、时，则称该函数系为标准正交函数系。若定义中的函数系｛四（%）｝为多项式函数系,则称为以夕⑴为权的在也加上的正交多项式系。并称叫（X）是上带权"（X）的〃次交多项式。＞正交多项式的构造：有递推关系式：0oQ)=L^1(x)=(x-a1)^0(x)%+i⑶=a-%+1)%a)-A吸一1⑶a僚%)其中小二（%，%）n二（%明）'“（%一1用一1）（证明略利用Schmidt正交化过程，Po。）二1<外。）二工一工77、7尸⑴、i=0（p,（x）,p,（x））就可以将多项式基函数｛1,%,---,xn）变为正交基｛a）（x），0（x），…，"（X）｝二、常用的正交多项式1.切比雪夫(qe6bH
6、iieB)多项式定义称多项式7^(x)=cos(narccosx)(-10x<1,n=0,1,2,,•)为n次的切比雪夫多项式(第一类)。mwnm=n^0m=n=0切比雪夫多项式的性质:⑴正交性:由｛Tn⑴｝所组成的序列是在区间［.1,1］上带权夕⑴二I——Tyll-X的正交多项式序列。且0,(•117Tj.I——rTm(x)dx=-LJl-/2兀,I(2)递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式即⑶二1,(⑴二/I[Tn+1⑶=2x.⑶-Tn_x(x)⑺=1,2,…)(3)奇偶性：切比雪夫多项式当〃为奇数时为奇函数；〃为偶数时为偶函数。Tn(-x)=cos[narcco
7、s(-x)]=cos(〃乃-〃arccosx)=(-1)Hcos(narccosx)=(—l)〃[(x)(4)Tn(x)在区间1］上有〃个不同的零点…s生业2n，(左=1,2,…，n)⑸Tn(x)在1］上有〃+1个不同的极值点兀xk—cosk—伏=0,1,2,…n使(X)轮流取得最大值1和最小值4o(6)切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为2-1(〃=1,2,…)。定理在夕上，在首项系数为1的一切〜1〃次多项式“〃(幻中，(x)= rrn(x
