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《2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.4.2第2课时单调性与最值课件新人教A版必修第一册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时单调性与最值课标定位素养阐释1.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.2.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质.4.体会数学抽象的过程,加强逻辑推理和数学运算能力的培养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习自主预习·新知导学一、正弦函数、余弦函数的单调性【问题思考】2.观察余弦函数y=cosx,x∈[-π,π]的图象,余弦函数在区间[-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢?提示:观察图象可知,当x∈[-π,0]时
2、,曲线逐渐上升,函数y=cosx在区间[-π,0]上单调递增,cosx的值由-1增大到1;当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减,cosx的值由1减小到-1.推广到整个定义域可得:当x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z时,余弦函数y=cosx单调递增,函数值由-1增大到1;当x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z时,余弦函数y=cosx单调递减,函数值由1减小到-1.答案:C二、正弦函数、余弦函数的最值【问题思考】1.观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线:余弦曲线:(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,值域是什么?
3、提示:[-1,1].(2)当x取何值时,正弦函数y=sinx,x∈R分别取得最大值1和最小值-1?3.做一做:函数y=2-sinx取得最大值时x的值为.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)在区间[0,3π]上,函数y=cosx仅在x=0时取得最大值1.(×)(2)正弦函数在第一象限是单调递增函数.(×)(4)余弦函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减.(√)合作探究·释疑解惑探究一求正弦函数、余弦函数的单调区间反思感悟1.用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,那么先利用诱
4、导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.2.此类问题可先解出f(x)的单调区间,将问题转化为集合间的包含关系,再列不等式组求出参数范围.探究二正弦函数、余弦函数单调性的应用反思感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.【变式训练2】cos1,cos2,cos3的大小关系是.(用“>”连接)解析:因为0<1<2<3<π,且y=cosx在区间[0,π]上单调递减,所以cos1>cos2>cos3.答案:cos1>cos2>cos3探究三正弦函数、余弦函数的值域或
5、最值分析:将已知转化为关于sinx的二次函数求值域.反思感悟常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种(1)形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,先根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sint或y=cost的最值(值域).(2)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sinx,将函数y=asin2x+bsinx+c(a≠0)转化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=asinx(或y=acosx)的函数的最值还要注意对a
6、的讨论.答案:C易错辨析用换元法求三角函数最值时忽视范围致错【典例】函数y=cos2x-4cosx+5的值域是.错解:令t=cosx,因为x∈R,所以-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1≥1.所以函数y的值域为[1,+∞).以上求解过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解忽视了t的取值范围.正解:令t=cosx,因为x∈R,所以-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cosx=-1时,函数y有最大值10;当t=1,即cosx=1时,函数y有最小值2.所以函数y的值域是[2,10].答案:[2,10]防范措施利用换元
7、法求解有关“二次函数型”值域问题时,要特别注意换元后“新元”的范围,即新函数的定义域,以便求解函数的值域.如本例,若忽略余弦函数的有界性,即不注意“新元”的范围,则极易致错.随堂练习1.下列不等式正确的是()A.sin11°
