项式定理典型例题解析.docx

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1、二项式定理概念篇【例1】求二项式（a—2b）4的展开式分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得(a—2b)4=C4a4+Ca3(—2b)+C2a2(—2b)2+C；a(—2b)3+C：(—2b)4432.2.3.4=a—8ab+24ab—32ab+I6b.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把—2b中的符号“―”忽略【例2】展开（2x—2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x—2；2)5=C5(2x)5+Cl5(2x)4(-2；2)+C5(2x)3(-2；2)2+C3(2x)2(-)3+C4（2x）（-敖炖-知=32x5—120x2+I80

2、x135405243+x48x732x10解法二：35--加(新132x10=32x5—120x2+180x135+405x48x7243顽.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开[C5(4X)+C；(4X)(—3)+cf(4x)(—3)+C；(4x)(—3)+C：(4x)(—3)+C5(—3)5]—(1024x15—3840x12+5760x9—4320x6+1620x3—243)32x10说明：记准、记熟二项式（a+b）n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在（x—.3）10的展开式中，x6的系数

3、是__.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C：0.解法二：（x—、.3）10的展开式的通项是Tr+1=C；0x10—r（—、.3）r.令10—r=6，即r=4,由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C：0x6（—,3）4=9C40x6.•••x6的系数为9C：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C。.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及

4、项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3x——)10,3x(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3、*——)10的展开式的通项是Tr+i=C；0(3.x)10—r(—-2)r(r=0,1，…，10).3x3x(1)展开式的第4项的二项式系数为c30=120.⑵展开式的第4项的系数为C3037(—-)3=—77760.3⑶展开式的第4项为—77760(、.X)74，即—77760•.一x.x说明：注意把(3、、x—-2)10写成］3・、x+(—A)

5、:10,从而凑成二项式定理的形式.3x3x【例5】求二项式(x2+1)10的展开式中的常数项.2Jx分析：展开式中第r+1项为C；0(x2)10—「(1)r，要使得它是常数项，必须使“x”的指2Jx数为零，依据是x0=1,XM0.解：设第r+1项为常数项，则“CM*「(二十和205r1r2（丄）（r=0,1,…,2510），令20—r=0,得r=8.2•••丁勺兀飪1)'^.2256•••第9项为常数项，其值为空.256说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项•【例6】(1)求(1+2x)7展开

6、式中系数最大项；(2)求(1—2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有C72rC712r1,C712r17!2r7!2r1即r!(7r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r1r!(7r)!2(r1)!(7r1)f21,r化简得r8r解得12r7rr1163,3又•/0

7、得.又因(1-2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可最大项为第五项，即T5=560x4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C；j(2x)5,TV=c6(2x)6,依题意有c525=C：26，解