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1、高中数学必修4知识点总结02平面向量【编者按】位巻是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确泄另外一点的位置，就用到向量方法了。向量是解决几何问题的有力工具，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。教材要求:在了解向量实际背景的基础上，学习平而向量及其运算的基础知识，用向量的语言和方法来表述和解决数学、物理中的一些问题。一、平面向量的概念及运算1.向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向疑一般用a.b.c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：
2、A#几何表示法AB,fl；坐标表示法a=xi+yj=（x,y）o向星的大小即向量的模（长度），记作IAAi＜即向量的大小，记作丨aa向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。②零向量长度为0的向量，记为0,H方向是任意的，6与任意向量平行，零向量&=6oIaI=0.由于6的方向是任意的，且规泄6平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看淸楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与o的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量必为单位向量oI%I=1。④平行向星（共线向呈：）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线
3、上，方向相同或相反的向疑，称为平行向虽:，记作a//b.由于向量可以进行任意的平移（即自由向呈:），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分淸楚共线向量中的"共线”与几何中的"共线”、的含义，要理解好平行向量中的"平行”与几何中的“平行”是不一样的。Xi=Xy方向相同（兀1，）1）=（儿＞」2）o・・®=y21.向量的运算（1）向量加法.求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB=&9BC=b♦则a+h=AB+BC=AC规定:（1）0+a=a+O=
4、a；（2）向量加法满足交换律与结合律：向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的,a+b=AS+BC=AC和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。2）三角形法则的特点是“首尾相接S由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向咼的和：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向咼加法的三角形法则可推广至多个向量相加:丽+貳+而+・・・+西+页=凉
5、但这时必须“首尾相连S（2）向量的减法①相反向量：与万长度相等、方向相反的向量，叫做&的相反向量。记作-N零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：(i)—(―tJ)=a:（ii）a+（-a）=（-a）+a=0:（iii）若万.方是互为相反向量，则&=一6,b=-五p+b=6。有共同起点）。___a-b=AC-AS=BC注：向量的加法与减法是互逆运算。（3）实数与向量的积①实数X与向量万的积是一个向量，记作也它的长度与方向规左如下：（I）
6、衍
7、=
8、外冋;（II）当兄＞0时，入N的方向与N的方向相同：当2＜0时，“的方向与D的方向相反：当兄=0
9、时，肋=6,方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。1.两个向虽共线泄理：向量方与非零向量方共线O有且只有一个实数2,使得6=加。即设&=（舛,）［）,〃=（尤2，＞‘2），其中b工b,则当且仅当x}y2-x2yl=0时，向Md.琢词共线.2.平面向虽的基本泄理如果吕,&2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量N，有且只有一对实数人使：厅=兄篙+兄2&2英中不共线的向量召，云2叫做表示这一平而内所有向量的一组基底。3.平面向疑的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在宜角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向
10、MFJ作为基底•由平而向疑的基本左理知，该平面内的任一向量&可表示成ci=xi+yj,由于（i与数对（x,y）是对应的，因此把（x,y）叫做向虽的坐标，记作（i=（x,y）,其中x叫作&在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向疑是相等的向量：2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位巻无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向虽的坐标运算：①若&=（X],yJ,Z?=（x2,y2）,则a±b=（坷±吃,必±旳）；②若A（“,yJ,B（x2,力），则AB=（x2-xl9旳一X）：③若d=（x,y）,则
11、25=（2x,Ay）；④若万=（舛,x）/=（吃，％），则两向量共线或平行allbO-x2y,=0°注：1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相
