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1、图1满分晋级满分晋级三角形7级°全等三角形的经典模型(一)三角形7级三角形8级O三角形8级°三角形9级O三角形9级全等三角形的经典模全等^___漫画释义全等三角形的经典模漫画释义■扉・噌+峙r*知识互联网*题型一等腰直角三角形模型作弊?思路导航N0AB0NM0CB0N90图1等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题(AC=BCK90°45,45).如图1；⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题•如图2；N0AB0NM0CB0N90图1图2典题精练fL一图3【例1】已知：如图所示，Rt△ABC中,A
2、BACbac90°⑴写出点0到4ABC勺三个顶点AB、C的距离0为BC的中点,的关系（不要求证明）⑵如果点MN分别在线段ACAB上移动，且在移动中保持AN=CM试判断△0M的形状，并证明你的结论.⑶如果点MN分别在线段CAAB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.N0AB0NM0CB0N90图1【解析】（l）0A=0BOC⑵连接0Av0A=0CBA0C45°AN=CM•••△AN0mCM0•••0N0MN0AM0CN0AB0NM0CB0N90NOM90•••△OM是等
3、腰直角三角形⑶△ONI依然为等腰直角三角形，证明：vZBAC90°,AE=ACO为BC中点•••/BAOZOACZABCZACB45°,•••A&B&OC•••在厶ANO^ACM（中,•••△ANOmCMQSAS•••ONOMZAONZCOM又vZCOMZAO=90°,•••△OM为等腰直角三角形.【例2】两个全等的含30。，60。角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.【解析】△EMC是等腰直角三角形.证
4、明：连接AM.由题意，得：△DAB为等腰直角三角形.VDMMB,/.MAMBDM,MDAMAB45°.二MDEMAC105°,NOM90二△EDM=△CAM./.EMMC,DMEAMC.又EMCEMAAMCEMADME90°./.CMEM,「•△EMC是等腰直角三角形.【例3】已知：如图，△ABC中，ABAC,BAC90°D是AC的中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF.求证：ADBCDF.【解析】证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M./ABAC,BAC90°,3DAM45°./C45°•3C./AFB
5、D,•1BAE90°「BAC90°>••2BAE90°.12.ADBCDF.ADBCDF.在△ABM禾口△CAF中，/.△ABM◎△CAF.二AMCF.在△ADM禾口△CDF中,二△ADM◎△CDF.二ADBCDF.证法二：如图，作CMTAFBD，二32TBAC90°,/.1290°二13.AC交AF的延长线于M.90°,C在△ACM禾口△BAD中,/.△ACMBAD.••MADB,ADCMTADDC,•CMCD.在△CMF禾口△CDF中，•△CMF也厶CDF.CDFADBCDF.【例4】如图，等腰直角一点，满足△
6、ABC中，ACBC,ACB90°,P为△ABC内咅B△ADPBADBAP15,PACPBPC,APAC，求证：BCP15.ACBD，连接DP是等边三角形，DAP60,45,30,•ACP75,•BCP15.【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt△ABC
7、中，/BAC90°,ABACM为AC中点，连结BM作AD£BM交BC于点D,连结DM求证：/AMBZCMD【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC延长AD交CF于点N,vANLBM由正方形的性质，可得AN=BM易证Rt△ABM坐Rt△CAN•ZAMBZCNDCN=AMvM为AC中点，•CMCNvZ1=Z2,可证得△CMBACND•ZCND/CMD•••/AMBZCMD【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt△ABC中,ZBA(=90°,AB=ACAD=CEANLBD于点M延长BD交NE的延长线于
8、点F,试判定△DEF的形状．【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC可知四边形ABH(为正方形，延长AN交HC于点K,vAKLBD可知AK=BD易证:Rt△ABD2Rt△CAK•••ZADBZCKNCK=ADvAD=EC二CI=CE易证△CKNP^CEN•ZCKNZCEN易证ZED=ZDEF•△DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积
