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1、点集拓扑学练习题（第6章）、单项选择题1设X是一个拓扑空间，若对于x,yX,xy,均有{x}{y},则X是（）①To空间②Ti空间③T2空间④以上都不对答案：①2、设X{1,2}，T{X,,{1}}，则（X,T）是（）①To空间②T1空间③T2空间④以上都不对答案：①3、设X{1,2,3}，T{X,,{1}}，则（X,T）是（）①To空间②T1空间③T2空间④以上都不对答案：④4、设X{1,2,3}，T{X,,{2，}}，则（X,T）是（）①To空间②T1空间③T2空间④以上都不对答案：④5、设X
2、是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间答案：③6、设X是一个拓扑空间，若X的每一个有限子集都是闭集，则X是（）①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间答案：③7、设X是一个拓扑空间，若对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU,则X是（）①正则空间②正规空间③T1空间④T4空间答案：①8设X是一个拓扑空间，若对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU,则X是（）①正则空间②正规空间③T1空间④
3、T4空间答案：②9、设X{1,2,3}，T{X,,{1},{2,3}}，则（X,T）是（）①To空间②Ti空间③T2空间④正规空间答案：④10、设X{1,2,3}，T{X,,{3},{1，}}，则（X,T）是（）①To空间②T1空间③T2空间④正则空间答案：④11.设（X.,T）是度量空间，贝U（X.,T）不必是：（）（A）A,空间（B）正规空间（C）紧致空间（D）T2空间答案：C12.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（D）（A）T公理（B）T2公理（C）T3公理（D）T4公理二、填空题1.
4、T1空间_不一定是__有限补空间，有限补空间___是T1空间。（填”是”或”不是”或”不一定是”）O2.正规空间的每一个闭子空间也是正规空间.可分空间的每一个开子空间也是可分空间.三.判断题1、设X{1,2,3}，T{X,,{1},{2},{1,2}}，则（X,T）是T3空间.（）答案：X理由：因为｛2,3｝是X的一个闭集，对于点1和｛2,3｝没有各自的开邻域互不相交，所以X不是正则空间，从而不是T3空间.注：也可以说明X不是T空间.2.设X｛1,2,3｝,T｛X,,｛1｝,｛3｝,｛1,3｝｝，
5、则(X,T)是T4空间.()答案：x理由：因为对于点1和点2，2没有开邻域不包含1，从而X不是T1空间.故(X,T)是T4空间.注：也可以考虑点2和点3.3.T3空间一定是T2空间.()答案：“理由：因为T3空间是正则的T1空间，所以对于T3空间X中的任意不同的两点x,yX，｛y｝是X中的闭集，由于X是正则空间，从而对于x,｛y｝它们有各自的开邻域U,V使得UV，所以X是T2空间.4.具有可数基的正则空间是正规空间。(V)5.在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。(V)6.在To空间中，A
6、的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点。(X)三.简答题(每题4分)1、设X是一个T空间，试说明X的每一个单点集是闭集答案：对xX，由于X是T1空间，从而对每一个yX,yx，点y有一个邻域U使得xU，即U｛x｝，故y｛x｝，因此｛x｝｛x｝,这说明单点集｛x｝是一个闭集•2、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间.答案：对于任意x,yX,xy，｛x｝,｛y｝都是闭集，从而｛x｝和｛y｝分别是y和x的开邻域，并且有X{x},y{y}.从而X是一个Ti空间.3、若X是一
7、个正则空间，试说明：对xX及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得VU.答案：对xX,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U是一个不包含点x的一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.4、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个开邻域V,使得VU.答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立•下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U是一个不包含点A的一个闭集.由于X
8、是一个正规空间，于是A和U分别有开邻域V和W,使得VW，因此VW，所以VWWU.5、试说明Ti空间X的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对x(d(A)),则x有开邻域U,使得(U{x})A，由于X是Ti空间，从而U{x}是开集，故U{x}(d(A)),于是U(d(A)),所以(d(A))是它每一点的邻域，故(d(A))是开集，因此d(A)是闭集.五、证明题1、设X是一个T空间，AX,xd(A),证
