2021年新高考数学三轮冲刺训练：平面向量.doc

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1、2021年新高考数学三轮冲刺训练：平面向量平面向量1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.1、向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.2、平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.

2、向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.（2）平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.3、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）4、向量数量积运算，其中为向量的夹角5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，其中：同向：反向：6、数量积运算法

3、则：（1）交换律：（2）系数结合律：（3）分配律：7、平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝

4、a

5、cosθ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

6、a

7、

8、b

9、；当a与b反向时，a·b＝－

10、a

11、

12、b

13、，a·a＝a2，

14、a

15、＝；(4)cosθ＝；(5)

16、a·b

17、≤

18、a

19、

20、b

21、.8、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

22、a

23、2＝x2＋y2或

24、a

25、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离

26、

27、AB

28、＝

29、

30、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法；1、已知向量a，b满足，，，则A．B．C．

31、D．【答案】D【解析】，，，.，因此，.故选：D．2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．3、已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．−3B．−2C．2D．3【答案】C【解析】由，，得，则，

32、．故选C．5、在中，为边上的中线，为的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以.故选A.6、设为单位向量，且，则______________.【答案】【解析】因为为单位向量，所以所以，解得：，所以，故答案为：.7、已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．8、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．【答案】(1).；(2).【解析】，，，，

33、解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.9、已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案；【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.10、已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．【答案】【解析】，，，.故答案为：.11、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.【答

34、案】【解析】因为，，所以，，所以，所以．12、在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则____