高中物理：第20届全国物理复赛.docx

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1、文档第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷2003年9月20日济南全卷共七题，总分为140分。一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心。己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U＝1000V。在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝2000eV的动能沿与O′O平行的方向射向a。以l表示b与O′O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值。把质子换成电子，再求l的最大值lmax＝Rlmax＝R第20届全国复赛1。一、参考解答令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷

2、，由能量守恒可知（1）因为a不动，可取其球心22/22文档为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有（2）由式（1）、（2）可得（3）代入数据，可得lmax＝R（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得lmax＝R（5）评分标准：本题15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。22/22文档二、（15分）U形管的两

3、支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计。己知三部分的截面积分别为SA＝1.0×10-2cm2，SB＝3.0×10-2cm2，SC＝2.0×10-2cm2，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。当温度为t1＝27℃时，空气柱长为l＝30cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为a＝2.0cm，b＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12cm．大气压强保持为p0＝76cmHg不变。不考虑温度变化时管和水银的热膨胀。试求气柱中空气温度缓慢升高到t＝97℃时空气的体积V＝0.72cm3第20届全国复

4、赛2。二、参考解答在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为，（1）（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为（4）22/22文档与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为（5）所以，当温度为时空气的体积和压强分别为（6）（7）由状态方程知（8）由以上各式，代入数据可得K（9）此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中

5、的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为（10）代入数据可得V＝0.72cm3（11）评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。22/22文档三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线

6、的方向，但不改变速度的大小。这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径R0＝6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的h＝0.925R0＝5920km第20届全国复赛3。三、参考解答位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为，（1）式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为22/22文档（2）于是，质量为的物体所受地球的引力可以

7、改写为（3）作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为（4）（5）为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为（6）式中是地球的质量。由上式可以得到（7）由以上各式可以求得（8）可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为（9）物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取22/22文档处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有（10）式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得（11）可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。设想让质

8、量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现