最新复变函数论第三版钟玉泉PPT第1章幻灯片.ppt

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1、复变函数论第三版钟玉泉PPT第1章为什么要学复变函数拿学分复变函数论是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是数学分析后继化、完备化课程。它在微分方程、概率论等等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一复变函数论要学什么复数与复变函数解析函数复变函数的积分解析函数的幂级数表示法解析函数的洛朗展式与孤立奇点留数理论及其应用第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点第一节复数1.虚数单位:对虚数单位的规定:一、复数的概念虚数单位的特性:2.复数:两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当

2、它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.二、复数的代数运算1.两复数的代数和:2.两复数的积:3.两复数的商:4.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.6.共轭复数的性质:例1解5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.例2证例3解设三、复平面1.复数的模显然下列各式成立2.复数的辐角辐角不确定.辐角主值的定义:3.利用平行四边形法求复数的和差4.复数和差的模的性质两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.5.复数的三角表示和

3、指数表示利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式例1解6.复数在几何上的应用举例下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。例1求下列方程所表示的曲线:解化简后得1.乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为注由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有

4、值与它相对应.定理二两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.2.幂与根n次幂:推导过程如下:棣莫佛公式根据棣莫佛公式,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.从几何上看,例1解即1.2.1复平面点集的几个基本概念定义1.1邻域:记作:或N(z0)={z

5、

6、z-z0

7、<}记作：或N0(z0)={z

8、0<

9、z-z0

10、<}第二节复平面上的点集定义1.2聚点、外点、孤立点如果z0属于E，但不是E的聚点，则称z0为E的孤立点.如果z0不属于E，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.z0为E的孤立点>0:N(z0)E

11、={z0}z0为E的外点>0:N(z0)E=定义1.3内点、开集、边界点、边界、闭集:如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E的内点>0:N(z0)E点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为:E若点集E的每个聚点都属于E,则称E为闭集；任何集合E的闭包一定是闭集.定义1.4有界集和无界集:zxy有界！o例1圆盘N(z0)={z

12、

13、z-z0

14、<}是有界开集；闭圆盘是有界闭集。例2集合,圆心它是的孤立点，是集合的聚点。定义1.5区域:如

15、果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.D加上D的边界称为闭域。1.2.2区域与Jordan曲线记为D＝D+Dz1z2D说明(2)区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界定义1.6连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o没有重点的曲线C称为简单曲线(或若当(Jordan)曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.

16、简单曲线是z平面上的一个有界闭集.简单闭曲线的性质若当(Jordan)定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.定义1.7可求长曲线:设连续弧C的参数方程为:任取实数列考虑C上对应点列将它们用一折线连接起来，有上界，则称C为可求长的，上确界称为C的长度。的长度为。若对所有数列，光滑曲线

17、C:特点（