方差典型例题六.docx

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1、例1已知样本x1，x2，x3的方差为s25，求样本3x1，3x2，3x3的方差s2.解：x1(x1x2x3)1(x13s2x)2(x2x)2(x3x)235，x13x23x3)(3x1133(x1x2x3)33xs21(3x13x)2(3x23x)2(3x33x)2139(x1x)2(x2x)2(x3x)239s295451推广，易得如下定理说明：我们将例定理1如果样本x1，x2，⋯，xn的方差s2p，那么样本kx1，kx2，⋯，kxn的方差s2k2p证明：x1(x1x2xn)1ns2(x1x)2(x2x)2(xnx)2pnx1(kx1kx2

2、kxn)nk1x2xn)(x1nkx1s2(kx1kx)2(kx2kx)2(kxnkx)2nk21(x1x)2(x2x)2(xnx)2nk2p下面运用上述定理解决问题例2已知样本x1，x2，⋯，x10的方差s215，求样本1x1，1x2，⋯，1x10的方差s2555解：由定理1，易得s2(1)215355说明：由此可见，应用定理解决问题十分方便。例3已知样本3x1，3x2，⋯，3xn的方差为3，求样本5x1，5x2，⋯，5xn的方差。解法1设样x1，x2，⋯，xn的方差为p，根据已知3x1，3x2，⋯，3xn的方差为32p由定理1，得p323

3、，p13样本5x1，5x2，⋯，5xn的方差s2为：s21528133解法2样本5x1，5x2，⋯，5xn可表示为：5(3x1)，5(3x2)，⋯，5(3xn)，333s23(5)23258133评注：将上述例3的解法2推广，我们又可得到一个定理定理2如果样本m1x1，m1x2，⋯，m1xn的方差为p，那么样本m2x1，m2x2，⋯，m2xn的方差为p(m2)2m1证明：因为样本m2x1，m2x2，⋯，m2xn，可表示为：m2m1(m1x1)，m2m1(m1x2)，⋯，m2m1(m1xn)，所以由定理1得其方差

4、为s2p(m2)2m1