内切球和外接球例题.docx

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1、。高考数学中的内切球和外接球问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________27..例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14.例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.C.A.16B.20C.24D.323.求

2、多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有6x3,x1,932h,2164xh．r83∴正六棱柱的底面圆的半径2，球心到底面的距离d3r2d21.V球42.∴外接球的半径R3.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9_______________.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体

3、的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球22229R29的半径为R，则有2R3334.故其外接球的.∴表面积S4R29.-可编辑修改-小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：所以球的表面积为例6.一个四面

4、体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体ABDE满足条件，即。AB=AD=AE=BD=DEBE2，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选A.例7．在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=600，E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球

5、的体积为（）.43666A.27B.2C.8D.24解析：因为AE=EB=DC=1，DAB=CBE=DEA=600，所以ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C.例8.已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=

6、3.故球O的体积等-可编辑修改-。9于2.2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，则球的体积是.解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在RtABC中，求出BC=4，所以BOC=600，故B、C两点间的球面距4离是3.三.多面体几何性质法例10.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x216，解得x

7、2.∴2R22224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例11.正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.S解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1DCOO1平面ABCD所示.∴由球的截面的性质，可得.O1A图3B又