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1、函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：x10x1另解：要使函数有意义，必须：x0x22例2求下列函数的定义域：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)x0中x0二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元
2、法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法①f(x)4x21③f(x)11111x⑤yx2313x73解：①要使函数有意义，必须：x23x4②f(x)x12(x1)0④f(x)xx4x21即：3x3（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：①f(x)1f(x)3x2；③f(x)x11；②2xx2解：①∵x-2=0，即x=2时，分式1无意义，x12而x2时，分式有意义，∴这个函数的定义
3、域是x
4、x2.2x2②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，32而3x20，即x3x2才有意义，时，根式32∴这个函数的定义域是{x
5、x}.3③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式1同时有意义，x
6、x1且x2}2x∴这个函数的定义域是{∴函数f(x)4x21的定义域为：[3,3]②要使函数有意义，必须：x23x40x4或x1x120x3且x1x3或3x1或x4∴定义域为：{x
7、x3或3x1或x4}x01x0③要使函数有意义，必须：0x11xx1110211x1}∴函数的定义域为：{x
8、xR
9、且x0,1,2④要使函数有意义，必须：x10x1xx0x0∴定义域为：x
10、x1或1x0x230xR⑤要使函数有意义，必须：x73x703即x<7或x>7∴定义域为：{x
11、x7}333例3若函数yax2ax1的定义域是R，求实数a的取值范围a解：∵定义域是R,∴ax2ax10恒成立，aa0∴等价于a2100a24aa例4若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x1)f(x1)的定义域44解：要使函数有意义，必须：1x115x333444x1x113x544444∴函数yf(x1)f(x1)的定义域为：x
12、
13、3x34444例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1
14、，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1练习：设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域解：要使函数有意义，必须：3x22得：1x22∵x≥0∴0x220x642∴函数f(x2)的定域义为：x
15、0x642例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。已知f(
16、3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。5,2）2（提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是（）Ａ．1,1Ｂ1,1Ｃ．1,1Ｄ．0,12222已知函数fx1x的定义域为Ａ，函数yffx的定义域为Ｂ，则（）1xＡ．AUBBＢ．BAＣ．AIBBＤ．AB2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数yk(k0)的定义域为{x
17、x
18、0}，值域为{y
19、y0}；x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，当a>0时，值域为{y
20、y(4acb2)}；当a<0时，值域为{y
21、y(4acb2)}.4a4a例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②f(x)2（1x3）3x1③yx（记住图像）x解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③当x>0，∴yx1
