数值线性代数答案.docx

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1、习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。[解]设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，

2、则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解]比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理··中的L和U都是唯112一的。[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三

3、角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。17．证明定理1·3·1中的下三角阵L是唯一的。[证明]因A是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇异。为证明L的唯一性，不妨设有和使那么注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即从而于是得知．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主子阵正好是A的i阶顺序主子19阵的Cholesky因子。[证明]将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。。显然故有。即是的Coli

4、cky分解。23．设用平方根法证明A是正定的，并给出方程组的解。[解]由Colicky分解可得其中显然，L是非奇异矩阵。因此，对.于是所以是正定的。由方程组，解得，再由方程组，解得习题22.2证明：当且仅当和线性相关且时，才有.证明因为对任意的于是，当且仅当由等式（E2.1）可知，当且仅当，即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线性相关。2.3证明：如果是按列分块的，那么证明因为.2.4证明：证明记，那么，根据第3题的结果我们有根据Frobenius范数定义易知，对.于是2.5设是由定义的。证明是矩

5、阵范数，并且举例说明不满足矩阵范数的相容性。证明（1）证明是矩阵范数。因为显然满足矩阵范数定义中的前三条：正定性、齐次性、三角不等式。下面我们证明满足“相容性”。对任意，记，，且还则，，且（2）一个不满足矩阵范数的相容性的例子。取，，则。于是，，从而2.6证明：在上，当且仅当是正定矩阵时，函数是一个向量范数。证明由于A是正定矩阵，不妨设是A的特征值，是其对应的标准正交特征向量，即显然，是线性无关的。因此，=span{}.记，，那么，且对任意，总有使.命题的充分性是很显然的。因为是上的向量范数，

6、则由其正定性可知A必为正定矩阵。现在我们来证明命题的必要性。即假设是正定矩阵，则函数满足向量范数定义的三条性质：正定性。由A的正定性，正定性显然成立。齐次性。对任意的，因为，故有.三角不等式。对于任意给定的，有，使应用习题2.1的结果，得即有2.7设是上的一个向量范数，并且设.证明：若，则是上的一个向量范数。证明当时，当且仅当是上的零向量。再由假设是上的一个向量范数，于是可证得满足：正定性。事实上，对任意，，而且当且仅当.齐次性。事实上，对所有的和有，因此.三角不等式。事实上，对所有的有，因此有2.8若且，证明.

7、证明首先用反证法，证明的存在性。设奇异，则有非零解，且，于是，从而.这与假设矛盾。现在来证明命题中的不等式。注意到：，且故有即2.9设是由向量范数诱导出的矩阵范数。证明：若非奇异，则证明因为是向量范数诱导的矩阵范数，故=1，且对和，有于是对，有，且当时，有.（E2.2）现在只需证明：存在且，使即可。根据算子范数的定义，我们不妨假设，使.再取，显然，且（E2.3）综合(E2.2)和(E2.3)得2.12证明对任意的矩阵范数都有，并由此导出[证明]由定理2.1.6（1）可知，对任意矩阵范数都有，而，于是，从而.2.13

8、若和都是非奇异的，证明.[证明]因为所以，根据矩阵范数的相容性可得.习题3１．设用正则化方法求对应的ＬＳ问题的解．［解］由定理３.1.4可知,ＬＳ问题的解就是下列正则化方程组解：即解得：２．设求对应的ＬＳ问题的全部解．［解］由定理３.1.4可知,ＬＳ问题的解就是下列正则化方程组解：经初等行变换得其同解方程组从而即,其中3.设,求一个Householder变换