全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容.docx

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1、全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。4、几何不等式。5、简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。6、几何中的运动：反射、平移、旋转。7、复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的

2、面积最大。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。2、第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括

3、无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。三、立体几何1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。3、体积证法。4、截面，会作截面、表面展开图。四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。2、二元一次不等式表示的区域。3、三角形的面积公式。4、圆锥曲线的切线和法线。5、圆的幂和根轴。五、其它抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n＝1时，命题成立；（2）假设当n≤k

4、时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n来说都成立。2、棣美弗定理：设复数z=r(cosθ+isin，θ)其n次方z^n=r^n(cos(nθ)+isin(n，其θ中))n为正整数。3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。4、同余：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。比如26≡14(mod12)【定义】设ｍ是大于1的正整数，a,b是整数,

5、如果m

6、(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(modm),读作a同余于b模m.。有如下事实：(1)若a≡0(modm)，则m

7、a；(2)a≡b(modm)等价于a与b分别用m去除，余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。例如，一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，{0，1，2，3}和{4，5，-2，11}是模4的完全剩余系。可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。7、高斯函数：f(x)=ae-(

8、x-b)^2/c^2其中a、b与c为实数常数，且a>0.8、费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡１（modp）假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等。9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)⋯..(1-1/pn)，其中p1,p2⋯pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数——若m,n

9、互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n),证明于上述类似。10、孙子定理：此定理的一般形式是设m=m1，⋯，mk为两两互素的正整数，m＝m1，⋯mkk。则同余式组x≡b1(modm1)，⋯，x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1＋⋯＋M'kMkbk（modmi），i＝1，2，⋯，k。，m＝miMi，i＝1，2，⋯，（modm）。式中M'iMi≡111、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线