“等体积代换法”.docx

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1、-------------精选文档-----------------问题—“等体积代换法”。(一)多面体的体积(表面积)问题1.【上海·理】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;【解】(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,PO由⊥BO,于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD的体积V=

2、1×3=2.×2332.【上海·文】在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90o,ABBC1.(2)若A1C与平面ABC所成角为45o,求三棱锥A1ABC的体积。【解】(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA1=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=2∴AA1=2。∴三棱锥A1-ABC的体积V=1S△ABC×AA1=2。36(二)点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1.【福建·理】如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、ABC的中点,CACBCDBD2,ABAD2.(III)求点E到平面ACD的距离。DO【解】(II

3、I)设点E到平面ACD的距离为h.BECQVEACDVACDE,11∴hgSACDgAOgSCDE.33在ACD中,CACD2,AD2,SACD1222(2)27.222可编辑-------------精选文档-----------------而AO1,SCDE13223,242AO.SCDE13212h7.点E到平面ACD的距SACD7221离为.2.【湖北·文】如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=2C1N。(Ⅱ)求点B1到平面AMN的距离。【解】(Ⅱ)过B1在面BCC1B1内作直线B1HMN

4、,H为垂足。又AM平面BCC1B1,所以AMB1H。于是B1H平面AMN,故B1H即为B1到平面AMN的距离。在511。故点B1到R1B1HM中,B1H=B1MsinB1MH125平面AMN的距离为1。3.【湖南·理】如图4,已知两个正四棱锥PDPABCD与QABCD的高分别为1和2,AB4。CAB(III)求点P到平面QAD的距离。【解】(Ⅲ)由(Ⅰ)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM。Q图4过点P作PH⊥QM于H,则PH⊥QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离。1连结OM。因为OM=AB=2=OQ,所以∠MQP=45°。2可编辑--------

5、-----精选文档-----------------又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin4532°=。232即点P到平面QAD的距离是。24.【江西·文】如图,已知三棱锥OABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点。(1)求O点到面ABC的距离;【解】(1)取BC的中点D,连AD、OD。QOBOC,则ODBC、ADBC,∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H,则OH⊥面ABC,OH的长就是所要求的距离。BC22,ODOC2CD22。QOAOB,OAOC,∴OA面OBC,则OAOD。ADOA2OD23,在直角三角形OAD中,有

6、OHOAOD26。AD33(另解:由VOABC1SABCOH1OAOBOC2知:OH6)36335.【山东·理】如图,已知平面A1B1C1平行于三棱锥VABC的底面ABC,等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直,且∠ACB=90°,设2a,BCa(Ⅱ)求点A到平面VBC的距离;AC可编辑-------------精选文档-----------------【解】(Ⅱ)解法1:过A作ADB1C于D,V∵△为正三角形,∴D为B1C的中点.AB1C∵BC⊥平面AB1C∴BCAD,A1C1又B1CBCC,∴AD⊥平面VBC,B1∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.AC33B

7、在正△AB1C中,ADAC2a3a.22∴点A到平面VBC的距离为3a.解法2:取AC中点O连结B1O,则B1O⊥平面ABC,且B1O=3a.由(Ⅰ)知BCB1C,设A到平面VBC的距离为x,VB1ABCVABB1C,即11BCACB1O11BCB1Cx,解得x3a.3232即A到平面VBC的距离为3a.所以,A到平面VBC的距离为3a可编辑

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