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1、。二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量x1,x2,...,xk的影响，其n组观测值为（ya,x1a,x2a,...,xka），a1,2,...,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：ya01x1a2x2a...kxkaa（3.2.11）式中：0,1,...,k为待定参数；a为随机变量。如果b0,b1,...,bk分别为0,1,2...,k的拟合值，则回归方程为?=b0b1x1b2x2...bkxk（
2、3.2.12）式中：b0为常数；b1,b2,...,bk称为偏回归系数。偏回归系数bi（i1,2,...,k）的意义是，当其他自变量xj（ji）都固定时，自变量xi每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，i（i0,1,2,...,k）的估计值bi（i0,1,2,...,k）应该使n2n2Qyayayab0b1x1ab2x2a...bkxkamin（3.2.13）a1a1有求极值的必要条件得Qn2yaya0b0a1（3.2.14）Qn2yayaxja0(j1,2,...,k)bja1将方程组（3.2.14）式展开整理后得：。1。nnnnnb0(
3、x1a)b1(x2a)b2...(xka)bkyaa1a1a1a1nnx12a)b1nnn(x1a)b0((x1ax2a)b2...(x1axka)bkx1ayaa1a1a1a1a1（3.2.15nnnnn）(x2a)b0(x1ax2a)b1(x22a)b2...(x2axka)bkx2ayaa1a1a1a1a1nn...nnnxka2)bk(xka)b0(x1axka)b1(x2axka)b2...(xkayaa1a1a1a1a1方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵：b0y11x11x21...xk1b11x12x22...xk2y
4、2bb2,Y,X1x13x23...xk3.....................ynbk1x1nx2n...xkn111...11x11x21...xk1x11x12x13...x1n1x12x22...xk2AXTXx21x22x23...x2n1x13x23...xk3..............................xk1xk2xk3...xkn1x1nx2n...xknnnnnx1ax2a...xkaa1a1a1nnnnx1ax12ax1ax2a...x1axkaa1a1a1a1nnnx22nx2ax1ax2aa...x2axkaa1a1a1
5、a1n...n...n......n...xka2xkax1axkax2axka...a1a1a1a1nya111...1y1a1nx1ayax11x12x13...x1ny2a1BXTYx21x22x23...x2ny3nx2aya..................a1...xk1xk2xk3...xknynnxkayaa1则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式。2。AbB（3.2.15’）求解（3.2.15’）式可得：bA1B(XTX)1XTY（3.2.16）如果引入记号：nLijLji(xiaxi)(xjaxj)(i,j1,2,...,k)a
6、1nLiy(xiaxi)(yay)(i1,2,...,k)a1则正规方程组也可以写成：L11b1L12b2...L1kbkL1yL21b1L22b2...L2kbkL2y............（3.2.15’’）Lk1b1Lk2b2...LkkbkLkyb0yb1xb2x2...bkxk1（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y1,y2,...,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1,x2,...,xk的取之不同，另一是受其他
7、随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：STLyyUQ在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式n2kU(yay)biLiya1i1计算，而剩余平方和为n2Q(yaya)LyyUa1以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自
8、由度等于自
