最新量子力学--第七章--近似方法教学讲义PPT课件.ppt

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1、量子力学--第七章--近似方法一、适用条件求解定态薛定谔方程比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分§7.1定态非简并微扰方法的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就可以通过逐步近似的方法求解。二.各级近似方程1.引入实参数λ代入本征值方程：得到由此方程可见，H的本征值及本征函数都与λ有关。因此令我们来求级数形式的解上面我们称及为零级近似能级和波函数。称及为能级及波函数的一级修正。2.一级近似波函数注意到：若是一级方程的解，则（为任意数）亦是一级方程的解，换言之，上面展开系数中不可能由方程确定，它可以是任意的。因此我们规定。事实上不同取值只不过相当于改变一个相因子。（见曾谨言p299）

2、代入一级方程我们得到等式两边同时乘再积分可得到上式右边第二项等于零，于是一级近似下的波函数应为其中五.能级的二级近似方程等式二边同时左乘再积分左边第一项和右边第一项可以约去,再把代入上式可以得到此项等于零可以得到因为因为(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为如果紧靠着存在别的，即使，微扰论也不适用。结果试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。例带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的微扰作用解1的本征值和本征函数是能级的一级修正就是在中的平均值很容易证明能级的一级修正为零.微扰论公式奇函数的对称区间积分为求能级的二级修正和波函数的一级修正，需要计算可利用公式下面来证明此公

3、式此即厄密多项式的递补推关系利用上面证明的公式可以得到能级的二级修正为交叉项为零谐振子的能级有上式所以精确到二级修正的能级为下面计算波函数上面是微扰方法的解的结果,得到了精确到二级修正的能级和一级修正的波函数。此问题可以精确求解,以便两者进行比较.其中由上可知体系仍是一个线性谐振子，每一个能级都比无电场时线谐振子相应能级低了，换一句话讲，平衡位置向右移动了考虑能级二级修正与精确解相同.§7.2定态简并微扰方法于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。令零级近似波

4、函数为（一）简并微扰理论假设En(0)是简并的，那末属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数根据这个条件，我们选取0级近似波函数的最好方法是将其表示成k个波函数的线性组合，代入一级方程等式两边左乘再积分可得上式乘以，考虑到等式左边为零上式中我们令：得：上式是以展开系数Ck为未知数的齐次线性方程组，它有不为零解的条件是系数行列式为零，即称为久期方程为了简单，我们已经把记作此是关于的k次方程，由代数定理，可以解得k个根记作它们可以有重根于是我们得到一级近似下的能级：讨论：（1）若个根各不同，原来的k度简并在微扰的作用下，分裂成k个能级，简并全部消除。（2）若k个根有部分重根，则原来k

5、度简并的能级在微扰作用下，能级部分分裂，简并部分消除。把k个根分别代入原一级方程中，就可以解得与对应的k组系数从而得到与对应的零级波函数。（二）氢原子一级Stark效应（1）Stark效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应。我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。（2）外电场下氢原子Hamilton量取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，

6、二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。（3）H0的本征值和本征函数下面我们只讨论n=2的情况，这时简并度n2=4。属于该能级的4个简并态是：（4）求H’在各态中的矩阵元由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上各态的矩阵元。利用数学公式上面应用了球谐函数正交归一性矩阵元不等于零要求量子数必须满足如下条件：因为所以Δm=0条件让我们只需考虑对角元和H’12,H’21而Δ=±1条件又进一步排除了对角元。（5）能量一级修正将H’的矩阵元代入久期方程：解得4个根：由此可见，在外场作用下，原来4度简并的能级E2(0)在一级修正下，被分裂成3条能级

7、，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了3条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。无外电场时在外电场中（6）求0级近似波函数分别将E2(1)的4个值代入方程组：得四元一次线性方程组E2(1)=E21(1)=3eεa0代入上面方程，得：所以相应于能级E2(0)+3eεa0的0级近似波函数是：E2(1)=E22(1)=-3eεa0代入上面方程，得：所以相应于能级E(0)2-3eεa0