华宇娱乐招商主管：68115.ppt

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1、3.2函数极限的性质.极限的性质二.利用函数极限的性质计算某些函数的极限金皇朝3招商主管：752580定理3.2如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的证明，xxfBA时的极限当都是设0,®,)(0,0,0101edde<-<-<>$>"Axfxx时有当则,)(0,0202edd<-<-<>$Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021dddd<-<=.2)()())(())((e<-+-£---=-BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA=e(1)(2)一函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性若极限存在，则

2、函数在的某一空心邻域上有界。证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00ddexUxAxfxxoÎ">$==®.1)(1)(+<Þ<-AxfAxf.);()(0内有界在即dxUxfo3.局部保号性定理3.4证明设A＞0,对任何＞0,使得对一切＞这就证得结论.对于A＜0的情形可类似地证明.推论定理3.4(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数r0(或f(x)-r<0)证明);(,0,),1,0(,00ddexUxrArAÎ">$-=Î">使得则取设.)(rAxf

3、=->e有.0的情形类似可证对于$>"edde时有当则)2(.)(0,0202edd+<<-<>$Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(

4、),1()()(,0},,,min{021'£<-<=ddddd,)()(ee+<£<-BxgxfA.,2BABA£+<的任意性知由从而ee4保不等式推论定理3.6如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A证明),(0,0,0101xgAxx，<-<-<>$>"edde时有当按假设.)(0,0202edd+<<-<>$Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xhxfxgxx££<-<=dddd,)(

5、)()(ee+<££<-AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx=<-®即由此得e5迫敛性定理3.7设,则1）2）3）6四则运算法则(3)的证明只要证，令，由，使得当时，有，即,仍然由，.，使得当时，有.取，则当时，有即推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2⑤定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf=则为常数而存在如果.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfn

6、xf=则是正整数而存在如果二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限..已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅[4]P37—38.我们将陆续证明这些公式.利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例１　求.例２　求.例３　求.(利用极限和)例4证明证（不妨设ε＜1）例6求例5求註:关于的有理分式当时的极限.参阅[4]P37[利用公式

7、]求A和B.补充题:已知求极限方法举例例7解小结:例8解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例9解(消去零因子法)例10解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例11解先变形再求极限.由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。三、复合函数极限定理（复合函数极限运算法则——变量代换法则）证由极